Derivación de transformaciones de Lorentz

Asumimos que las transformaciones de Lorentz son lineales y que el origen en un marco se asigna al origen en otro marco (¡también hacemos esto en la derivación habitual de las transformaciones de Lorentz!). Entonces, la forma general es

$$t' = a t + b x\,,\qquad x' = c t + d x \,.$$ Dado que las transformaciones son lineales, esto también implica $$\Delta t' = a \Delta t + b \Delta x\,,\qquad \Delta x' = c \Delta t + d \Delta x \,.$$

Dilatación del tiempo

Este establece que si$\Delta x = 0$, entonces$\Delta t' = \gamma \Delta t$. De este modo,$a=\gamma$. Inversamente, si$\Delta x' = 0$entonces$\Delta t = \gamma \Delta t'$. Esto implica$d = \gamma ( ad - b c )$.

Contracción de longitud

Este establece que si$\Delta t' = 0$, entonces$\Delta x' = \frac{ \Delta x}{ \gamma }$. Esto implica$a=\gamma(ad-bc)$. Inversamente, si$\Delta t = 0$, entonces$\Delta x = \frac{ \Delta x'}{\gamma}$. Esto implica$d=\gamma$. Usando estas ecuaciones, podemos obtener

$$a = d = \gamma \,,\qquad b c = \gamma^2 - 1 = \frac{\gamma^2 v^2}{C^2}$$ EDITAR - estoy usando $C$para la velocidad de la luz para no confundir con el coeficiente $c$.

Con esto, podemos escribir una transformación de Lorentz genérica como

$$t' = \gamma t - \frac{\gamma v}{C^2 } f(v) x \,,\qquad x' = \gamma x - \frac{\gamma v}{f(v)} t\, .$$ para alguna funcion $f(v)$. Ahora podemos estudiar algunas propiedades de esta función.

Primero, notamos que la transformada inversa de Lorentz toma la forma

$$t = \gamma t' + \frac{\gamma v}{C^2} f(v) x' \,,\qquad x= \gamma x' + \frac{ \gamma v }{ f(v) } t'$$ Los dos deben estar relacionados a través de $v \to - v$. Así, debemos tener $f(v) = f (-v)$.

No creo que podamos decir más sobre$f(v)$sin entrada adicional! Permítanme agregar una entrada adicional y completar la derivación.

Constancia de la velocidad de la luz

Esto requiere que si$x=Ct$entonces$x'=Ct'$. Esto implica inmediatamente$f(v)=1$.