Ambigüedad de dirección de la velocidad angular y el desplazamiento angular a partir de la relación ω=dϕdtω=dϕdt\boldsymbol{\omega}=\frac{d\boldsymbol{\phi}}{dt}

Cuando diferencia una cantidad vectorial$\mathbf x$con respecto al tiempo la dirección del diferencial va a ser la dirección del infinitesimal$\mathrm d\mathbf x$. Esa es la dirección del vector:

La dirección de un desplazamiento angular no es tangencial. El vector de rotación (en realidad un pseudovector) se obtiene multiplicando el ángulo por un vector unitario que apunta a lo largo del eje. Entonces, el vector de rotación apunta en la misma dirección que la velocidad angular. Esto significa$\mathrm d\phi$también apunta a lo largo de este eje. Entonces el operador$\mathrm d/\mathrm dt$no está cambiando la dirección del vector.

Sin embargo, este es un caso un poco especial porque en rotación todos los vectores apuntan en la misma dirección. Das el ejemplo de diferenciar un vector de posición, donde el diferencial no apunta en la misma dirección que el vector de posición. Pero eso se debe a que la dirección del vector de posición$\mathbf r$cambia con el tiempo. Si tomaste algún caso especial como la partícula que se mueve radialmente hacia afuera, entonces$\mathbf r$y$\mathrm d\mathbf r/\mathrm dt$apuntaría en la misma dirección.

Lo primero es que$\hat r$y$\hat \phi$no son vectores fijos como lo son$\hat i, \hat j$y$\hat k$y son vectores reales.

Para responder tu pregunta.
Todos los vectores dibujados en el diagrama son coplanares.

Entonces su velocidad angular$\frac{d \phi}{dt}$El vector debe apuntar en ángulo recto a este plano en el$\hat z$dirección.

Aunque es difícil de dibujar, he descubierto que dibujar el digrama facilita la interpretación de las Matemáticas.

Al ir de$A$, vector de posición$\vec r$, a$B$, vector de posición$\vec r + d\vec r$, hay una rotación de$d \phi \;\hat z$y un cambio de posición de$d\vec r$.

El vector unitario$\hat r$cambia con el tiempo.
$|d \vec r| = |\vec r| d \phi = d \phi$en la dirección de$\hat \phi$.

$\Rightarrow \dfrac{d \hat r}{dt} = \dfrac{d \phi}{dt} \hat \phi$

De manera similar se puede demostrar que$d \vec \phi = - d \phi \;\hat r$.
El signo negativo está ahí porque la rotación de este vector unitario es radialmente hacia adentro, es decir, en la dirección opuesta al vector unitario.$\hat r$.
Tenga en cuenta que escribió$\delta{\boldsymbol{\phi}}=\delta{\phi}\hat{\boldsymbol{\phi}}$aunque con un signo de interrogación.

$\vec v = \dfrac {d \vec r}{dt} = \dfrac {d(r \hat r)}{dt} = \dfrac{dr}{dt} \hat r + r\dfrac {d \hat r}{dt} = \dot r \hat r + r \dot \phi \hat \phi$como mostraste.