¿Se cancelan la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud?

Aquí hay mucha confusión. También en Relatividad Especial es fundamental tener claro lo que queremos decir cuando escribimos variables, especialmente cuando se trata de múltiples marcos de referencia.

Tratemos las cosas correctamente: dados dos marcos de referencia (entonces dos observadores si te gusta más este nombre)$O$y$O'$, en movimiento relativo entre sí con velocidad constante$v$, desde el punto de vista de$O$la ecuación con respecto a la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud son:

$$t'=\frac{t}{\gamma}$$ $$l'=l\gamma$$ ¡pero estas ecuaciones por sí solas no significan nada! Tenemos que entender realmente lo que$l,t,l',t'$deben hacer uso de estas ecuaciones.
Bien:$t,l$son medidas de tiempo y longitud respectivamente, hechas por$O$en un objeto que todavía está en el marco de referencia de$O'$. Por otro lado$t',l'$son medidas hechas por$O'$sobre el mismo objeto. Entonces, para tener la imagen en tu cabeza:$O$ve el objeto que se mide en movimiento, mientras que$O'$no.

Puede recordar fácilmente estas ecuaciones por los nombres de los fenómenos que describen: la dilatación del tiempo significa aproximadamente que el tiempo transcurrido desde el punto de vista de$O$($t$) es mayor en comparación con el tiempo transcurrido desde el punto de vista de$O'$($t'$), y sabemos que la constante de proporcionalidad debe ser$\gamma$, pero desde$\gamma$ es siempre mayor que uno vemos inmediatamente que:

$$t>t' \ \Rightarrow \ t'=\frac{t}{\gamma}$$ pero tenga cuidado: ¡esto no es en absoluto una prueba! Es simplemente una técnica mnemotécnica útil para recordar la fórmula.
Por supuesto, puedes hacer lo mismo con la contracción de longitud , pero esta vez$l'>l$.

Tenga en cuenta también otra cosa: en línea o en libros, definitivamente encontrará fuentes que informan aparentemente las ecuaciones exactamente opuestas a las que informé, pero solo recuerde prestar atención al significado detrás de las letras y todas las incongruencias desaparecerán.

Recuerde también que este fenómeno funciona en ambos sentidos,$O$ve$O'$en movimiento, pero desde el punto de vista de$O'$es$O$que se mueve, ¡así que los fenómenos son completamente simétricos! Esto suele parecer muy extraño al principio, pero con el tiempo lo dominarás. Espero haberte ahorrado alguna confusión.

Ahora debería poder ver por qué su razonamiento es incorrecto.

Presentaré las fórmulas, los diagramas y la interpretación de la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud en una notación menos ambigua. (Las notaciones prima y no prima a menudo conducen a confusiones).

Al final,
intentaré repetir su cálculo que cancela el$\gamma$-factorizar y demostrar un error en su interpretación física.

Utilizo un diagrama de espacio-tiempo en papel cuadriculado girado para que podamos leer inmediatamente las marcas a lo largo de los segmentos. (Los "diamantes de reloj" son generados por las trayectorias espacio-temporales de las señales de luz en un reloj de luz. Según la invariancia de Lorentz, el área de todos los diamantes de reloj es igual).

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Dibujamos$\color{red}{\mbox{Alice's (RED)}}$diagrama de espacio-tiempo, donde$\color{blue}{\mbox{Bob (BLUE)}}$se mueve inercialmente con$(v/c)=6/10$.

La dilatación del tiempo implica el triángulo rectángulo de Minkowski OTQ,
que mide el componente adyacente OT de la hipotenusa de desplazamiento temporal OQ.

La contracción de longitud implica el triángulo rectángulo de Minkowski OLD,
que mide la hipotenusa espacial OD (la longitud aparente de la escalera de Bob), donde OL es la "distancia entre líneas paralelas" (la longitud adecuada de la escalera de Bob), que es el lado adyacente del triángulo OLD, que es Minkowski-perpendicular a DL a lo largo de la línea de tiempo del frente de la escalera de Bob.

(Estos triángulos son numéricamente similares. Uno implica la rapidez (el ángulo de Minkowski entre dos líneas temporales) y el otro implica el ángulo de Minkowski entre dos líneas espaciales, que son ortogonales de Minkowski a las líneas temporales. Todos estos vectores son coplanar.)

(Para la velocidad relativa$(v/c)=\displaystyle\frac{(6)}{(10)}$, tenemos$\gamma=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=\frac{(5)}{(4)}$.)

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Aquí está la dilatación del tiempo:

$$\gamma=\frac{(adj)}{(hyp)}=\frac{OT}{OQ}$$ entonces $$\begin{align} (OT) &=\gamma(OQ)\\ \large\Delta t^A_{OT} &\large =\gamma\ \Delta t^B_{OQ}\\ \left( \begin{array}{c} \mbox{duration of $OQ$}\\ \mbox{according to Alice} \end{array} \right) &= \gamma \left( \begin{array}{c} \mbox{duration of $OQ$}\\ \mbox{according to Bob} \end{array} \right)\\ \Large \Delta t^A_{OQ} &\Large =\ \gamma\ \Delta t^B_{OQ}\\ (10) & \stackrel{\checkmark}{=} \left(\frac{5}{4}\right) (8) \end{align}$$

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Aquí está la contracción de longitud:

$$\gamma=\frac{(adj)}{(hyp)}=\frac{OL}{OD}$$ entonces $$\begin{align} (OD) &=\frac{(OL)}{\gamma}\\ \large\Delta x^A_{OD} &\large =\ \frac{\Delta x^B_{OL} }{\gamma}\\ \left( \begin{array}{c} \mbox{distance between Bob's lines}\\ \mbox{according to Alice} \end{array} \right) &= \frac{ \left( \begin{array}{c} \mbox{distance between Bob's lines}\\ \mbox{according to Bob} \end{array} \right) } { \gamma } \\ \Large L^A_{\scriptsize\mbox{ B's ladder}} &\Large = \frac{ L^B_{\scriptsize\mbox{ B's ladder}} }{\gamma}\\ \Delta x^A_{OD} & = \frac{\Delta x^B_{OD}}{\gamma}\\ (4) & \stackrel{\checkmark}{=} \frac{ (5) }{ \left(\frac{5}{4}\right) } \end{align}$$

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Es posible que desee verificar sus fórmulas con números primos y "no primos".

Ahora intentemos su cálculo para cancelar el$\gamma$-factores.

$$\large \begin{align} \frac{ \Delta x^A_{OD} }{ \Delta t^B_{OQ} } &= \frac{\displaystyle \frac{ \Delta x^B_{OD} }{\gamma} } { \frac{ \displaystyle \Delta t^A_{OQ} }{\gamma} } = \frac{\Delta x^B_{OD} }{\Delta t^A_{OQ}} \end{align}$$

La característica importante a tener en cuenta es que ninguno de los lados es una velocidad
ya que ninguno de los lados es una pendiente medida por Alice o Bob
ya que ninguno de los lados tiene la forma

$$\left( \begin{array}{c} \mbox{velocity of something}\\ \mbox{according to Alice} \end{array} \right)= \frac{ \left( \begin{array}{c} \mbox{spatial component of a hypotenuse}\\ \mbox{according to Alice} \end{array} \right) } { \left( \begin{array}{c} \mbox{temporal component of a hypotenuse}\\ \mbox{according to Alice} \end{array} \right) }$$ Contando diamantes, tenemos $$\frac{(4)}{(8)} = \frac{ (5)}{(10)}$$ lo que sugiere que no hay una interpretación física inmediata de la velocidad.
Al elegir un tiempo transcurrido más largo a lo largo de OQ o una escalera más larga a lo largo de OL, las proporciones cambiarán por el mismo factor. En cualquier caso, todavía no hay una interpretación física inmediata.

Consideremos la configuración habitual con el cuadro O' moviéndose hacia la derecha con velocidad v con respecto al cuadro O. Supongamos que los dos cuadros coinciden en t=t'=0 y x=x'=0. Supongamos que tenemos un objeto que viaja en O entre x=0 y x=L en el tiempo T. Por lo tanto, (x$_1$, t$_1$)=(0,0) y (x$_2$,t$_2$)=(L,T). La velocidad del objeto en O es por lo tanto u=L/T.

Para encontrar la correspondiente (x$_1'$, t$_1'$) y (x$_2'$, t$_2'$) usamos la transformación de Lorentz y encontramos

$$(x_1', t_1')=(0,0),(x_2', t_2')=(\gamma(L-vT),\gamma(T-vL/c^2)$$ Así, el observador en O' mediría la velocidad del objeto u'=x$_2'$/t$_2'$= (L-vT)/(T-vL/c$^2$).

Tenga en cuenta que en el límite v/c -> 0 obtenemos u' = (L/T) -v como se esperaba (la velocidad relativa).

Creo que lo que estás calculando es la velocidad relativa de los dos marcos, que es la misma para ambos observadores. Mira mi respuesta aquí: Midiendo velocidades relativas en SR

Son solo dos cosas incorrectas con su argumento:

En primer lugar, la afirmación de que$s=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} s'$dónde$s$es la distancia recorrida en el cuadro$S$y$s'$es la distancia recorrida en el cuadro$S'$Es incorrecto.

Tenemos que tener en cuenta que el marco$S'$se mueve con velocidad$v$en relación con el marco$S$, por lo que la ecuación correcta debería ser

$$s=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} s'+vt,$$ dónde$t$es el tiempo transcurrido medido en S. (Tenga en cuenta que esto es similar a$x=x'+vt$en transformaciones galileanas, pero con longitud$x'$contratado.)

En segundo lugar, la afirmación de que$t=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} t'$donde el$t$es el tiempo que tarda en recorrer la distancia$s$en$S$y$t'$es el tiempo que tarda en recorrer la distancia$s'$en$S'$Es incorrecto.

La derivación de la fórmula de la dilatación del tiempo es tal que solo es válida para un reloj que está fijo en un punto particular del cuadro.$S'$. Para medir el tiempo que se tarda en recorrer una distancia en$S'$, tenemos que usar dos relojes en$S'$que están situados en dos puntos diferentes$S'$. Por lo tanto, no podemos usar la fórmula de dilatación del tiempo.

relacionarse$t$y$t'$, tomamos la perspectiva del marco$S'$. Según marco$S'$, marco$S$se aleja con una velocidad de$-v$. por una distancia$s$movido en marco$S$, la distancia$s'$movido en marco$S'$será

$$s'=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} s-vt'.$$

Relacionando esto con la ecuación

$$s=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} s'+vt,$$ podemos resolver eso $$t'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(t-\frac{v}{c^2}s)=\gamma{(t-\frac{v}{c^2}s)}.$$

Ahora que nos hemos relacionado$s$,$s'$,$t$y$t'$correctamente entre sí, puede proceder a demostrar que en general${s \over t}\neq{s'\over t'}$.

Nota: La relación entre$s\over t$y$s' \over t'$será la regla de suma de velocidades de Einstein .

Referencias:

1. Griffiths, Introducción a la electrodinámica , Capítulo 12