¿Qué hace físicamente la función delta de Dirac al derivar la ley de Gauss de la ley de Coulomb?

Al hacer esta derivación, las coordenadas de origen se mencionan como " s " y la coordenada del punto en el que se va a calcular el campo se menciona como " r ". Siga amablemente este enlace de Wikipedia y haga clic en "Demostración del esquema" en "Derivación de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb".

Finalmente sale que

∇ ⋅ mi ( r ) = ρ ( r ) ϵ 0 .
Pero ρ en realidad está definido para el " s "coordenadas y ρ ( r ) , dónde r es el punto en el que se calcula el campo eléctrico es 0. Aquí no puedo entender cómo el ∇ ⋅ mi ( r ) es igual a ρ ( r ) ϵ 0 .La información sobre ρ ( s ) se pierde totalmente en la ecuación final. ¿Qué hace realmente la función delta de Dirac?

Esta pregunta (v3) es esencialmente un duplicado de physics.stackexchange.com/q/38404/2451

Respuestas (3)

La delta de Dirac es una función que describe una distribución (gratis, en este caso) que se concentra en un punto: precisamente lo que necesitas. Entonces, esencialmente, las ecuaciones en el esquema de prueba dado se leen en lenguaje sencillo de la siguiente manera:

(1) Ley de Coulomb de una carga puntual (2) Ley de Coulomb integrada para una carga uniformemente distribuida con densidad ρ (poniendo ρ = mi 0 d te devuelve (1)). Cada punto contribuye ρ . (3) Campo r / r 3 describe un campo que se origina en un punto en el origen, sin otras fuentes. Reconocemos este término bajo la integral (2). (4) Las fuentes de E son una integral sobre contribuciones de fuentes con magnitud ρ en cada punto, lo que básicamente significa que "una gota suave de carga es como tener una distribución continua de pequeñas cargas puntuales". (5) Solo reformulación de (4) (matemáticamente, usando la definición de la función delta).

Entonces, realmente, este esquema no hace prácticamente nada. Dice "generalizamos la ley de Coulomb para una carga puntual a una distribución de carga continua al sumarlos y, oh sorpresa, que la fuente del campo eléctrico resultante es la distribución de carga que pusimos en primer lugar". Si me preguntas, esta "prueba" es algo circular.

ρ ( s → ) es función de s → dónde s → es el vector de posición de la ubicación de la densidad de carga. Mientras que r → es la posición en la que desea calcular mi ( r → ) . Entonces, lo que está haciendo esencialmente es calcular el campo eléctrico debido a un volumen elemental d 3 s ubicado en el puesto s → y finalmente integrando sobre toda esa contribución para todos esos s → .

Importante: La Ley en forma diferencial y válida para todo r y ρ ( r ) ≠ 0 para todos r como r puede ser cualquier punto en el espacio lo que significa incluso r = s .En otras palabras, debe escribir para una carga puntual (simetría esférica)

ρ ( r ) = q 4 π r 2 d ( r − s )
.Escribiendo de esta manera no estás perdiendo tu información ese cargo es solo en r = s .

Gracias Prof. Shonku por la explicación. Estoy un poco confundido debido a lo siguiente.
Qué parte de la respuesta te confunde. ρ ( r ) es para cualquier r en el espacio. Si pones ρ ( r ) = 0 entonces significará que es cero en r = s también lo que no es cierto. r está escrito es el sentido de una variable que no representa una posición particular como r = r 0 .
Gracias Prof. Shonku por la explicación. Estoy un poco confundido debido a lo siguiente. En el problema anterior se nos pide encontrar la divergencia del campo eléctrico mi ( r ) . r es el vector de posición del punto en el que mi es calculado. La distribución de carga que genera el campo. mi ( r ) está a distancia s desde el origen Por lo tanto, la distribución de carga se escribe como ρ ( s ) . (continuación)
(cont.) Ahora, cuando finalmente encontramos la expresión de ∇ ⋅ mi ( r ) resulta ser ρ ( r ) / ϵ 0 , que es una función de r no s . esto dice que el ∇ ⋅ mi ( r ) es independiente de las coordenadas de la fuente. Suponer ρ ( s ) es una cantidad finita pero ρ ( r ) = 0 . entonces ∇ ⋅ mi ( r ) será 0. No hay efecto de ρ ( s ) en ∇ . mi ( r ) . Pero ρ ( s ) es la causa de mi ( r ) . ¿Cómo es posible que la causa de mi ( r ) no tiene efecto en el ∇ ⋅ mi ( r ) ?
Suponga que hay un punto dentro de una fuente extendida que tiene una densidad de carga rho. Queremos calcular div.E en ese punto. ¿Será igual que para un punto fuera de la fuente extendida?
cuando estas escribiendo ρ ( r ) = 0 no está bien. Debería ser ρ ( r = r 0 ) = 0 .Porque como mencioné r es una variable en la ecuación. Y la ecuación es válida para cualquier r y ρ ( r ) debe escribirse de manera que contenga toda la información sobre la distribución de carga para todos r .

Creo que he encontrado la respuesta. Consideremos el caso de una esfera uniformemente cargada de radio R y densidad de carga ρ . El campo dentro de esta esfera es mi i norte = ρ × r 3 ϵ 0 . Aquí r es la distancia desde el centro y r < R . Si calculamos la divergencia de mi i norte entonces

∇ . mi ( r ) = ρ ϵ 0
Por favor note que ρ es en realidad ρ ( r ) que es constante para r < R.

el campo electrico mi o tu t = ρ × R 3 3 × ϵ 0 × r 2 para r > R .

Calculando la divergencia de este campo obtenemos

∇ . mi ( r ) = 0 , tenga en cuenta que para este punto ( r > R ) ρ ( r ) = 0 .

Esta es la razón por la que no estoy de acuerdo con la interpretación. ρ ( r ) por el profesor Shonku Demuestra que ∇ . mi ( r ) = ρ ( r ) ϵ 0 dónde ρ ( r ) es la densidad de carga exactamente en el punto donde el campo mi ( r ) es medido. Si r es tal que el punto está dentro de una distribución de carga extendida, entonces ∇ . mi ( r ) es distinto de cero. Si r es tal que el punto está fuera de una distribución de carga extendida, entonces ∇ . mi ( r ) es cero Gracias

Si mi o tu t = ρ R 3 3 ϵ 0 r 2 y ρ = 0 entonces mi o tu t = 0 ¿Pero es?
Si no hay distribución de carga en la esfera, entonces es una esfera neutra. Entonces E(out) será 0 y E(in) también será 0. Pero aquí la función delta de Dirac juega el papel al asignar rho(r)=rho para r<R y rho(r)=0 para r>R . Creo que estamos hablando de lo mismo pero en diferente lenguaje. Gracias
De acuerdo. Básicamente, demostraste que ρ ( r ) ≠ 0 para r < R y ρ ( r ) = 0 para r > R lo que equivale a decir ρ ( r ) = q 4 π r 2 d ( r − s ) por una sola carga situada en r = s que dije antes.
sí. Eso es lo que dije. Ese era mi punto de que la información no se pierde porque la expresión explícita para ρ ( r ) contiene la información donde se encuentra el cargo.
Todavía no me doy cuenta de cómo una simple notación "rho (r)" sin una integración o suma sin signo puede transmitir la densidad de carga para todo el rango de r. Pero ahora entiendo muy bien que aquí la función delta de Dirac juega el papel al asignar relevancia, solo a la densidad de carga, en ese punto particular donde estamos calculando E (r).
Porque un d ( r − s ) físicamente significa que es cero si r ≠ s y no cero si solo r = s . Por lo tanto, está combinando estas dos informaciones en una sola expresión. De lo contrario, debe escribir dos ecuaciones diferentes para dos rangos diferentes.
Creo que me estás animando a visualizar la gráfica de rho(r) vs r y luego multiplicar delta(rs) por ella. De esta forma solo se ve toda la información de un solo vistazo.
Sí, para una carga de un solo punto, puede hacerlo de esa manera, pero para otro tipo de distribución puede que no sea dirac delta, puede ser mediante el uso de alguna otra función que pueda escribir una sola expresión para ρ . Digamos para el caso en que ρ ( r ) = constante para r < R y ρ ( r ) = 0 para r > R entonces ρ Se puede escribir como ρ ( r ) = constante × θ ( R − r ) dónde θ ( X ) es la función de paso lateral pesado definida como θ ( X ) = 0 para X < 0 y θ ( X ) = 1 para X > 0 . La función delta de Dirac viene solo para distribución discreta.
¿Qué hace físicamente la función delta de Dirac al derivar la ley de Gauss de la ley de Coulomb?
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