Carga de densidad superficial, divergencia del campo eléctrico y ley de Gauss

Se sabe que la divergencia del campo eléctrico en un punto determinado viene dada por esta fórmula:

$$\nabla \cdot E=\dfrac{\rho (r)}{\epsilon_{0}}$$

Ser$\rho (r)$la densidad de carga volumétrica en ese punto.

De acuerdo con esto, ¿qué pasa si hay una densidad de carga de volumen cero pero una densidad de carga superficial distinta de cero? ¿Tendría el campo eléctrico divergencia cero en ese punto?

En este caso, ¿cómo concilia este hecho con la ley de Gauss?

La ley de Gauss está directamente relacionada con el teorema de la divergencia:

$$∭_{V}(∇⋅E) dV=∬_{S}E\cdot dS$$

Si tenemos una distribución de carga superficial dentro de cualquier superficie cerrada, el primer término sería cero porque la divergencia de cualquier campo eléctrico creado por cualquier distribución de carga superficial sería cero. Por lo tanto, la integral de superficie también sería cero y, de acuerdo con la ley de Gauss:

$$∬_{S}E\cdot dS=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_{0}}$$

No habrá carga neta dentro del volumen cerrado por la superficie, lo que obviamente no es cierto. Sospecho que esta inconsistencia tiene que ver con el hecho de que, para probar la ley de Gauss, cuando concluimos que:

$$\nabla \cdot E=\dfrac{q}{\epsilon_{0}}\delta(r)$$

Ser$\delta(r)$Delta de Dirac tridimensional con$r=0$en el punto donde la carga$q$se encuentra.

Sustituimos$q$por$\rho (r)dV$, y mientras$dV$es un infinitesimal de tercer orden, obtenemos la expresión común de la divergencia de un campo eléctrico, pero si hacemos la misma sustitución en la distribución de carga superficial o lineal, la expresión resultante tiene una delta de Dirac.

Esto me sugiere que la expresión de la divergencia del campo eléctrico que aprendí es incompleta, y solo es válida para distribuciones de carga de volumen.