Divergencia de un campo y su interpretación.

Esto se vuelve mucho más claro si consideras las formas integrales de las ecuaciones de Maxwell. Empezamos con la Ley de Gauss

$$\begin{equation} \nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation}$$ Si integramos esto en algún volumen $V$y aplicamos el Teorema de la Divergencia de Gauss encontramos que el lado izquierdo da $$\begin{align} \int_V\mathrm{d}^3\vec{x}\;\nabla\cdot\vec{E}= \int_{\partial V}\mathrm{d}^2\vec{S}\cdot \vec{E}\end{align}$$ donde $\partial V$es el límite de $V$. Mientras que el lado derecho da $$\begin{equation} \int_V\mathrm{d}^3\vec{x}\;\frac{\rho}{\epsilon_0}= \frac{Q}{\epsilon_0}\end{equation}$$ Donde $Q$es la carga total encerrada en $V$. La combinación de los dos da $$\begin{equation}\int_{\partial V}\mathrm{d}^2\vec{S}\cdot \vec{E} = \frac{Q}{\epsilon_0}\end{equation}$$ Es decir, el flujo eléctrico que ingresa a cualquier región cerrada es igual a la carga contenida en esa región, es decir, las líneas de campo eléctrico solo comienzan y terminan con cargas.

Por el contrario, podemos aplicar esta ecuación sobre un volumen arbitrario,$V$. En particular podemos elegir un volumen tan pequeño que$\nabla\cdot\vec{E}$y$\rho$son aproximadamente constantes, por lo que podemos recuperar la forma diferencial de la Ley de Gauss.

Ahora veamos cómo se ven estas ecuaciones para una carga puntual,$q$, Al origen. Para cualquier volumen$V$que no incluye el origen,$Q = 0$, por lo que al tomar$V$pequeño encontramos que$\nabla\cdot\vec{E} = 0$. Sin embargo, si consideramos un volumen que incluye el origen, entonces$Q = q$y la integral de$\nabla\cdot\vec{E}$es distinto de cero. Si dejamos el volumen de$V\rightarrow 0$encontramos eso$Q$permanece constante mientras el origen todavía está contenido, por lo que

$$\begin{equation}\frac{Q}{V}\rightarrow\rho\rightarrow \infty\end{equation}$$ Asi que $\rho$debe divergir para una carga puntual! Además, este comportamiento donde el valor de una integral está dado por el valor del integrando en un punto es la definición del delta de Dirac. Si encuentra esto insatisfactorio, puede retroceder a la pregunta de si realmente existen cargas puntuales, pero esta es una pregunta empírica, más que teórica. (Actualmente tenemos pocas razones para pensar que las partículas fundamentales no son puntuales).

Se puede hacer un análisis similar con campos magnéticos, donde encontramos que

$$\begin{equation} \int_{\partial V}\mathrm{d}^2\vec{S}\cdot \vec{B} = 0\end{equation}$$ para cualquier volumen $V$

I) Correcto, la forma diferencial de la ley de Gauss

$$\tag{1} {\bf\nabla} \cdot{\bf E}~=~ \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

utiliza el concepto matemático relativamente avanzado de distribuciones delta de Dirac en el caso de cargas puntuales

$$\tag{2} \rho({\bf r})~=~\sum_{i=1}^n q_i\delta^3({\bf r}-{\bf r}_i).$$

Tenga en cuenta en particular que es técnicamente incorrecto afirmar (como parece hacer OP) que la distribución delta de Dirac$\delta^3({\bf r})$es simplemente una función $f:\mathbb{R}^3\to [0,\infty]$que toma el valor cero en todas partes excepto en el origen donde el valor es infinito:

$$\tag{3} f({\bf r})~:=~\left\{ \begin{array}{rcl} \infty& {\rm for}& {\bf r}={\bf 0}, \cr 0& {\rm for}& {\bf r}\neq {\bf 0}.\end{array}\right.$$

Para empezar, para una función de prueba arbitraria $g:\mathbb{R}^3\to [0,\infty[$, la integral de Lebesgue$^1$

$$\tag{4} \int_{\mathbb{R}^3} \! d^3r~f({\bf r})g({\bf r}) ~=~0$$

desaparece, en contraste con la propiedad definitoria de la distribución delta de Dirac

$$\tag{5} \int_{\mathbb{R}^3} \! d^3r~\delta^3({\bf r})g({\bf r}) ~=~g({\bf 0}).$$

La distribución delta de Dirac$\delta^3({\bf r})$no es una función. En cambio, es una función generalizada . Es posible dar un tratamiento matemáticamente consistente de la distribución delta de Dirac. Sin embargo, cabe recalcar que el análisis no se reduce a la investigación de dos casos separados${\bf r}= {\bf 0}$y${\bf r}\neq {\bf 0}$, pero en cambio (típicamente) involucra funciones de prueba (difuminadas). Para tener una idea de las diversas complejidades que pueden surgir con las distribuciones, el lector puede encontrar interesante esta publicación de Phys.SE.

II) Para evitar la noción de distribuciones , es más seguro (y probablemente más intuitivo) trabajar con la forma integral equivalente de la ley de Gauss

$$\tag{6} \Phi_{\bf E}~=~ \frac{Q_e}{\varepsilon_0}.$$

La correspondiente ley de Gauss para el magnetismo.

$$\tag{7} \Phi_{\bf{B}}~=~ 0$$

expresa (sin emplear dobles raseros) el hecho de que no hay carga magnética$Q_m$.

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$^1$ecuación (4) se basa crucialmente en el hecho de que en la teoría de la integración para funciones no negativas, uno define la multiplicación$\cdot: [0,\infty]\times[0,\infty]\to[0,\infty]$en la línea media real extendida$[0,\infty]$así que eso$0\cdot\infty:=0$. ecuación (4) se debe esencialmente al hecho de que$f$es cero en casi todas partes . También debemos mencionar el hecho bien conocido de que la teoría de la integración puede generalizarse apropiadamente de funciones no negativas a funciones de valores complejos.

Estado de las ecuaciones de Maxwell

$$\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$

$$\nabla \cdot \vec B = 0$$

Si aceptamos las ecuaciones de Maxwell como verdaderas, no hay fuente/sumidero del campo magnético, ya que la divergencia del campo magnético es cero pase lo que pase . Sin embargo, no importa cómo te sientas acerca del delta de Dirac, donde hay carga, hay una divergencia distinta de cero del campo eléctrico. Y, a la inversa, donde hay divergencia distinta de cero, hay carga.

Ahora, no es el delta de Dirac lo que es "poco realista" (es una distribución perfectamente bien definida), es el concepto de "carga puntual". Cada cosa cargada que conocemos tiene esta carga distribuida en un área de espacio, por pequeña que sea, y el delta de Dirac es una forma de modelar que esta área es tan pequeña que no nos importa que no sea como un punto. Y si realmente hubiera una carga puntual, el delta de Dirac describiría exactamente su densidad de carga, porque el volumen de un punto es claramente cero, y cualquier carga que la cosa haya dividido por cero es infinita. (No tome esto como una declaración rigurosa, esto es tan complicado como parece)

Lo más serio que aprender aquí es que las densidades son distribuciones : no tienen sentido a menos que se integren, y si integramos sobre una carga puntual con$\rho(r) = q \delta(r)$, obtenemos la carga perfectamente finita$q$. No hay nada malo con el delta de Dirac como densidad de carga (u otra).

Usted escribe: "En el caso del campo magnético, todavía tenemos que observar su fuente o sumidero".

Si quiere decir "todavía tenemos que observar una fuente o un sumidero", tiene razón.

Sin embargo, considere el campo vectorial magnético (ignorando unidades/hablando cualitativamente):

$$\vec{B}=(0, \frac{z}{(1+r^2)^2},\frac{y}{(1 + r^2)^2})$$

Este es un campo válido porque es el rotacional del vector potencial$(\frac{1}{1+r^2},0,0)$.

Es un campo magnético instantáneo válido. Podría usar las ecuaciones de Maxwell para encontrar una densidad de corriente o un campo eléctrico cambiante, pero eso está más allá del punto. La cuestión es:

1. No hay fuente ni sumidero de$\vec{B}$,
2. Ya que$\vec{B}$va a cero en el infinito, ninguna fuente o sumidero ha sido "empujado hasta el infinito".
3. La energía almacenada en el campo es finita.

Este es realmente un campo magnético finito sin fuente ni sumidero. No se trata de observar su fuente o sumidero. ¡No hay fuente ni sumidero que observar!

He estado usando el término "fuente o sumidero" para indicar$\nabla \cdot \vec{V}\neq 0$. Pero también podría usar el término "fuente" para significar "causa de", en cuyo caso "fuente" no es sinónimo de$\nabla \cdot \vec{V}\neq 0$. Puedes mirar la ley del circuito de Ampère y decir que el$\vec{B}$El campo es causado por una corriente o un campo eléctrico cambiante. Así que no es como si$\nabla \cdot \vec{B}=0$implica que el campo B no tiene "fuente", en el sentido general de la palabra.

Si$\vec{B}$representó el campo de velocidad de un líquido que llena el espacio, entonces la divergencia cero implica que no se inyecta/elimina agua en ninguna parte. Pero$\vec{B}$no representa el campo de velocidad de un líquido que llena el espacio.