¿Es equivalente derivar la ley de Gauss a partir de distribuciones de fuentes discretas y continuas?

Para lo que concierne a la mayoría de los cálculos, las dos formas son equivalentes. De hecho, diría que podría usar con seguridad la identificación

$$\tag{1} \int d^3 x \rho(\textbf x) \sim \sum_i q_i,$$ en todas aquellas circunstancias en las que tenga sentido hablar de cargos localizados (aunque con algunas excepciones, ver el último párrafo). Por supuesto, puede justificar matemáticamente esta identificación utilizando las funciones delta de Dirac , lo que le da (1) la definición de la densidad de carga $\rho(\textbf x)$como $$\tag{2} \rho(\textbf x) = \sum_i q_i \delta^3(\textbf x - \textbf x_i),$$ y considerando que $$\tag{3} \int d^3x \rho(\textbf x) f(\textbf x) = \sum_i q_i \int d^3 x \delta^3(\textbf x - \textbf x_i) f(\textbf x) = \sum_i q_i f(\textbf x_i).$$

El uso de una u otra aproximación no depende tanto de la naturaleza de la carga que se está analizando como de la configuración experimental utilizada para probarla/estudiarla (o, de manera equivalente, en qué propiedades de la carga estamos interesados).

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Ahora, para una situación en la que los dos enfoques dan resultados muy diferentes: considere una matriz de$N$cargos$q_1,...,q_N$ubicado en los puntos$\textbf x_1,...,\textbf x_N$. La energía potencial total de este sistema es:

$$\tag{4} W = \frac{1}{8\pi\epsilon_0} \sum_{i \neq j} \frac{q_i q_j}{|\textbf x_i - \textbf x_j|}, \qquad i,j=1,...,N$$ donde es importante notar la $i\neq j$en la suma, lo cual se debe a que no queremos considerar la energía proveniente de la interacción de una carga puntual consigo misma . Considerar tal cosa sería muy problemático: tendrías una distancia $|\textbf x_i - \textbf x_i|=0$y una energía obviamente infinita.

Pero, ¿qué pasa con la versión continua de (4) ? En este caso la energía potencial toma la forma

$$\tag{5}W = \frac{1}{8 \pi \epsilon_0} \int \int d^3 x d^3 x' \frac{\rho(\textbf x) \rho(\textbf x')}{| \textbf x - \textbf x'|}.$$ Pero ahora que tenemos dos integrales, ¿cómo podemos implementar una condición como la $i \neq j$¿arriba? No podemos, y de hecho esta última expresión da resultados diferentes de (4) : incluye términos de autointeracción , es decir, incluye la energía potencial proveniente de la interacción de las cargas consigo mismas.

Para entender esto, considere por ejemplo la situación simple con dos cargas$q_1$y$q_2$en puntos$\textbf x_1$y$\textbf x_2$. Usando (4) obtienes

$$\tag{6} W = \frac{1}{8\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{| \textbf x_1 - \textbf x_2| },$$ que es lo que ingenuamente cabría esperar. Usando en su lugar (5) con la densidad de carga $$\tag{7} \rho(\textbf x) = q_1 \delta^3(\textbf x - \textbf x_1) + q_2 \delta^3(\textbf x - \textbf x_2)$$ da: $$\tag{8} W = W_{11} + W_{22} + W_{12},$$ dónde $W_{12}$es el término de interacción (6) , mientras que $W_{11}$y $W_{22}$son las autointeracciones de la primera y segunda carga respectivamente, que tienen las expresiones: $$\tag{9} W_{11} = \frac{1}{8\pi \epsilon_0} \int d^3 x \frac{q_1^2}{|\textbf x - \textbf x_1|} \delta^3(\textbf x - \textbf x_1),$$ $$\tag{10} W_{22} = \frac{1}{8\pi \epsilon_0} \int d^3 x \frac{q_2^2}{|\textbf x - \textbf x_2|} \delta^3(\textbf x - \textbf x_2).$$ Estos dos términos adicionales no solo no desaparecen, sino que son infinitos . De hecho, se ve fácilmente que incluso la energía potencial de una sola carga puntual es infinita cuando se calcula a través de (5). Entonces, ¿qué vamos a hacer con todos estos infinitos claramente equivocados (¿lo son?)? ¿Tenemos que desechar toda la teoría como defectuosa? Obviamente no: para ver que estos infinitos no son realmente un problema solo tenemos que recordar para qué sirve la energía potencial: nos da la cantidad de trabajo requerido/liberado al pasar de un estado a otro. Dado que no podemos romper una carga puntual (según nuestra propia definición de ella), esas energías propias infinitas nunca se intercambiarán con otros sistemas. Son solo términos constantes (muy grandes) agregados a la energía de interacción y, como sabemos, agregar una constante a la energía potencial no cambia nada en la física.