Dependencia del campo eléctrico en la distancia

Como tal, no existe una prueba teórica real de la dependencia del cuadrado inverso del campo eléctrico en la electrodinámica clásica. Es un hecho experimental conocido como la ley de Coulomb. Cuando se combina con el principio de superposición, nos da la ley de Gauss de la electrodinámica clásica:

Pero también se puede pensar en la ley de Gauss como un hecho experimental y de ella se puede derivar (con suposiciones físicas adecuadas) la dependencia del cuadrado inverso del campo eléctrico de una esfera cargada de la siguiente manera:

Tomemos una carga esférica cuya carga$Q$se distribuye esféricamente simétricamente dentro de algún radio$a$. Considere una superficie centrada en el centro de la esfera y que tiene un radio$R>a$. Ahora, se puede argumentar que en cada punto de la capa esférica, la única dirección que puede tener un campo eléctrico es radialmente hacia afuera o radialmente hacia adentro. Además, si el campo eléctrico apunta radialmente hacia adentro en uno de los puntos de la capa esférica, entonces debería apuntar radialmente hacia adentro en cualquier otro punto de la capa esférica. Además, la magnitud del campo eléctrico debe ser la misma en todos y cada uno de los puntos de la capa esférica considerada.

Así, la integral$\displaystyle\iint_{S} \mathbf E\cdot \mathrm d{\mathbf A}$(dónde$S$denota la integración sobre la superficie esférica) también se puede escribir como$4\pi R^2E$dónde$E$es la magnitud del campo eléctrico, positivo si apunta radialmente hacia afuera y negativo si apunta radialmente hacia adentro. (Esto es solo una convención: puede modificarlo y aún obtener la dirección física correcta del campo eléctrico siempre que use el cálculo vectorial correctamente). Ahora, según la ley de Gauss, esta integral debe ser igual a la carga total dentro de la esférica. superficie dividida por$\epsilon_0$. es decir$Q/\epsilon_0$. Por lo tanto,

O,

Dado que no había nada especial en el radio$R$excepto por$R>a$, podemos considerar que esta fórmula es verdadera para cualquier$R>a$.

Puedes probarlo usando el concepto de flujo eléctrico. Por ejemplo. Si rodeas una carga puntual con una esfera si r=1, o una esfera con r =10, sabes que el flujo eléctrico (fuerza de campo por área) debe ser el mismo. Una esfera es fácil porque cada punto es equidistante a la carga.

Esta es una pregunta mucho más profunda de lo que parece a primera vista. La lógica simple dada por @Anthony B no es suficiente para probar la ley del cuadrado inverso. Hay numerosos experimentos que se han hecho para verificar esta ley. Hay una colección de los trabajos experimentales en esta revisión .

En días anteriores, Cavendish y Coulomb realizaron experimentos con hemisferios conductores y resortes de torsión, lo que demostró la ley del inverso del cuadrado.

Procs y deBrolgie han postulado que si los fotones tienen masa en reposo, habrá desviaciones de la ley del cuadrado inverso. Sin embargo, las estimaciones de la masa restante de fotones son realmente bajas.

Si hay una desviación de la ley del cuadrado inverso, habrá una situación crítica para la física.

Como dijo Anthony B, el número de líneas de campo que cortan cualquier esfera que rodea una carga puntual es el mismo (porque cualquier línea de campo que pasa a través de una esfera de radio 1 también pasa a través de una esfera de radio 200) dado que el flujo = E 4pi r^2 debe ser constante. Eso explica teóricamente la dependencia 1/r^2