¿Cómo se llega a la Ley de Gauss (forma integral) a partir de la Ley de Coulomb, y cómo se llega a la forma diferencial a partir de ella?

Consideremos por simplicidad$n$cargas puntuales$q_1$,$\ldots$,$q_n$, en posiciones$\vec{r}_1$,$\ldots$,$\vec{r}_n$, en el límite electrostático , con permitividad de vacío$\epsilon_0$.

Ahora esbocemos una posible estrategia para demostrar la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb :

1. Deducir de la ley de Coulomb que el campo eléctrico en la posición$\vec{r}$es

   $$\tag{1} \vec{E}(\vec{r})~=~ \sum_{i=1}^n\frac{q_i }{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec{r}-\vec{r}_i}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^3} .$$

2. Deducir la densidad de carga

   $$\tag{2} \rho(\vec{r})~=~\sum_{i=1}^n q_i\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_i).$$

3. Recuerda la siguiente identidad matemática

   $$\tag{3}\vec{\nabla}\cdot \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}~=~4\pi\delta^3(\vec{r}) .$$ ( Esta respuesta Phys.SE puede ser útil para probar la ecuación (3), que también puede escribirse como$\nabla^2\frac{1}{|\vec{r}|}=-4\pi\delta^3(\vec{r})$).

4. Utilice las ecuaciones. (1)-(3) para demostrar la ley de Gauss en forma diferencial

   $$\tag{4} \vec{\nabla}\cdot \vec{E}~=~\frac{\rho}{\epsilon_0} .$$

5. Deducir la ley de Gauss en forma integral a través del teorema de la divergencia .

@Qmechanic ya ha proporcionado una buena respuesta. Me gustaría proporcionar otro.

Considere un cargo$q$estar encerrado por cualquier superficie (no necesariamente una esfera). Algo como esto -

Ahora, escribe el flujo que sale de esta extraña superficie...

$$\phi_E = \displaystyle \oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d\mathbf{S}}$$ Lo sabemos - $$\mathbf{E} = E \vec{r} = \dfrac{1}{4\pi \epsilon_0} \dfrac{q}{r^2}\vec{r}$$ Entonces, aquí en esta extraña superficie. no hay un radio fijo, ¿verdad? Y la superficie que aquí se considera no es continua. Entonces, obtendría - $$\phi_E = \dfrac{q}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \oint_S \dfrac{\mathrm{d\mathbf{S}}}{r^2} \tag{1}$$ Recuérdese que el término $\dfrac{\mathrm{d\mathbf{S}}}{r^2}$es la definición misma del estereorradián, que es igual a $\dfrac{1}{4\pi}$de una esfera completa. Esto es bueno para cualquier superficie. En pocas palabras, este es el análogo 3D de la $2\pi$rotación en un círculo. Aquí tenemos su elemento diferencial, es decir, $d\Omega = \dfrac{\mathrm{d\mathbf{S}}}{r^2}$Integrandolo por completo, tenemos $$\displaystyle \oint_S \dfrac{\mathrm{d\mathbf{S}}}{r^2} = \displaystyle \oint_S d\Omega = 4\pi$$ Conectando esto de nuevo a (1), tenemos - $$\phi_E = \dfrac{q}{\epsilon_0}$$ Lo que implica - $$\displaystyle \oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d\mathbf{S}} = \dfrac{q}{\epsilon_0}$$ Ok, ya que hemos terminado de derivar la forma integral de la ley de Gauss (que es válida para cualquier superficie cerrada), la siguiente forma diferencial se puede obtener aplicando el teorema de la divergencia: $$\nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}$$

La prueba de @ Qmechanic es una buena forma general de probar la Ley de Gauss a partir de la Ley de Coulumb. Sin embargo, me gustaría agregar una prueba más simple que descubrí en YouTube.

Fuente: https://www.youtube.com/watch?v=X_CHPTZfUGo

vs_292, solo se me pasó un pequeño punto. El producto escalar. La superficie$ds$debe estar a lo largo del campo eléctrico, es decir, a lo largo$\bf{r}$(vector de posición).

Prueba del teorema de Gauss (con cero sólido):

$$\phi = \frac{q}{\epsilon_0}$$ $$d\phi = \vec{E}\cdot d\vec{s}=E\hat{r}\cdot d\vec{s}$$ $$phi = \oint_\limits{s}E\hat{r}\cdot d\vec{s}$$ Aquí esta es la proyección de$d\vec{s}$a lo largo de$\hat{r}$. $$d\Omega = \frac{ds'}{r^2}$$ $$\phi = \oint_\limits{s} Eds' = \oint_\limits{s}\frac{1}{r\pi\epsilon_0}\cdot\frac{q}{r^2}ds'$$ $$\Rightarrow\phi=\frac{1}{r\pi\epsilon_0}q\oint_\limits{s}\frac{ds'}{r^2}$$ $$\Rightarrow\phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}q\oint_\limits{s}d\Omega$$ $$\boxed{\Rightarrow\phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}q4\pi = \frac{q}{\epsilon_0}}$$

Imagen adjunta a los diagramas:

Fuente: Canal de Youtube de Edupoint.