¿Qué funciones se pueden aproximar mediante funciones continuas de Hölder de forma "acotada"?

Editar: al principio leí mal la pregunta, asumiendo que$||f_n||_\alpha$se suponía que estaba acotado, no solo$||f_n||_{\alpha_n}$. Primero, un comentario sobre el problema real (no estoy seguro de si es una solución a lo que el OP realmente tiene en mente porque no tengo claro un determinado cuantificador, luego la respuesta original, para el caso$\alpha_n=\alpha$.

La condición "$||f_n||_{\alpha_n}$acotado" parece un poco curioso. Por ejemplo:

Lema curioso: Supongamos que$||f||_\infty\le 1$y existe$c$tal que$|f(x)-f(y)|\le c|x-y|$. Entonces existe$\alpha>0$con$||f||_\alpha\le 4$.

Prueba: Elija$\alpha\in(0,1)$de modo que$2c^\alpha<3$. Si$|x-y|>1/c$entonces

$$\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}\le\frac2{c^{-\alpha}}\le3.$$ Por otro lado si $|x-y|<1/c$entonces $$\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}\le\frac{c|x-y|}{|x-y|^\alpha} =c|x-y|^{1-\alpha}\le c^{\alpha}\le 3.$$

Eso realmente parece que no puede ser correcto. Pero no veo el error. Si vamos con cuidado notamos que en el primer caso$\alpha>0$implica$|x-y|^\alpha>(1/c)^\alpha$, mientras que en el segundo caso$1-\alpha>0$implica$|x-y|^{1-\alpha}<(1/c)^{1-\alpha}$.

Corolario curioso. Si$f$es medible y$||f||_\infty\le1$entonces existe$f_n$y$\alpha_n>0$tal que$f_n\to f$casi en todas partes y$||f_n||_{\alpha_n}\le 4$.

(Por supuesto, lo contrario es trivial, ya que$||f_n||_\infty\le||f_n||_{\alpha_n}$.)

Prueba. Dejar$\phi_n\in C^\infty_c(\mathbb R)$ser una identidad aproximada, con$\phi_n\ge0$y$\int\phi_n=1$como siempre. Dejar$f_n=\phi_n*f$. Entonces$f_n\to f$Casi en cualquier parte. También$||f_n||_\infty\le||f||_\infty||\phi_n||_{L^1}\le 1$y$||f_n'||_\infty \le||f_n||_\infty||\phi_n'||_{L^1}<\infty$. Curiosamente, el tamaño de$||f_n'||_\infty$no importa, el lema da nuestro$\alpha_n$.

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original, suponiendo$\alpha_n=\alpha$:

Teorema fácil $f$se puede aproximar en este sentido si y solo si existe un titular continuo$g$con$f=g$Casi en cualquier parte.

Para la dirección no del todo trivial: supongamos que$f_n\to f$casi en todas partes y$||f_n||_\alpha$está ligado. Arzela-Ascoli muestra que alguna subsucesión converge uniformemente en conjuntos compactos para$g$. Entonces$g$es Titular continuo y$f=g$Casi en cualquier parte.

(O sin Arzela-Ascoli: Diga$E$es un conjunto de medida completa y$f_n\to f$puntualmente en$E$. Entonces$f|_E$cumple una condición de Titular. Por eso$f|_E$es uniformemente continuo; desde$E$es denso$f|_E$tiene una extensión única a una función continua$g:\mathbb R^n\to\mathbb R$, que también es continuo de Holder.)

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Pensamientos Cuando la gente habla de$f$siendo un límite de funciones con algún tipo de propiedad de suavidad uniforme, el punto es típicamente ver qué tipo de suavidad implica esto sobre$f$; el teorema fácil es un ejemplo típico. Tan típico que cuando leí la pregunta por primera vez asumí que se refería al teorema fácil.

Luego, cuando vi que la pregunta era en realidad sobre$||f_n||_{\alpha_n}=O(1)$parecía un poco sospechoso; eso realmente no parecía una condición de suavidad "uniforme". Y efectivamente, el Corolario Curioso muestra que$||f_n||_{\alpha_N}=O(1)$no da más suavidad que solo$||f_n||_\infty=O(1)$.

De todos modos , el punto de esta sección es sugerir que si uno está interesado en qué suavidad en$f$se sigue de los límites en$||f_n||_{\alpha_n}$se pueden obtener resultados más interesantes asumiendo que$||f_n||_{\alpha_n}\to0$de alguna manera, dependiendo de$(\alpha_n)$.

Excepto, por supuesto, que eso no es lo que quiero decir; Está claro a partir de la definición que si$||f_n||_{\alpha_n}\to0$entonces$f=0$. Definimos$||f||_\alpha$la forma en que lo hicimos simplemente porque es bueno tener una norma . En su lugar, defina una seminorma

$$\rho_\alpha(f)=\sup_{x\ne y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}.$$

Entonces me parece que si uno está interesado en todo esto, podría querer considerar qué tan suave$f$debe ser si$||f_n||_\infty=O(1)$y

$$\rho_{\alpha_n}(f_n)\le ch(\alpha_n)$$ para alguna funcion $h$con $h(\alpha)\to0$. Por ejemplo $h(\alpha)=\alpha^\beta$viene a la mente...

pero no$\alpha_n\to 0$? Diría también que cualquier acotado$f$puede aproximarse de esta manera.

1)$f$limitado (digamos,$|f|\le C$) se puede aproximar ae mediante funciones continuas$f_n(x)$(con$|f_n|\le C$).

2)$f_{n,L}(x):=\min_y f_n(y)+L|x-y|$es un$L$-Aproximación de Lipschitz de$f_n$(con$f_{n,L}\to f_n$uniformemente como$L\to\infty$y$|f_{n,L}|\le C$).

3) uno tiene

$$\frac{|f_{n,L}(x)-f_{n,L}(y)|}{|x-y|^\alpha} \le \min\Big\{ L|x-y|^{1-\alpha}, \frac{2C}{|x-y|^\alpha}\Big\}.$$ Esto es máximo para $|x-y|=2C/L$, con valor $2C(L/(2C))^\alpha$. Elegir $\alpha= \log 2/(\log(L/(2C))$(que va a $0$como $L\to\infty$) da el valor $4C$.