¿Por qué nos importa la continuidad de Hölder?

Las funciones continuas de Hölder no dan lugar a soluciones débiles útiles en ningún contexto que yo conozca: hay nociones de soluciones débiles que son continuas, pero el módulo de Hölder no es relevante para la definición.

Si bien puede haber algunos resultados raros que requieren módulos de Hölder específicos con$\alpha < 1$, no se me ocurre ninguno que utilice en mi investigación.

Entonces, ¿por qué preocuparse por la continuidad de Hölder? Aquí hay algunas razones. Diré que esto viene desde una perspectiva puramente PDE, y que los espacios de Hölder son más útiles cuando se trata de PDE elípticas, parabólicas y algunas de primer orden. Para las ecuaciones dispersivas y de onda, el hecho de que las normas de Hölder no interactúen bien con la transformada de Fourier es un golpe en su contra. Hay otras áreas de análisis y geometría (no PDE) que encuentran útiles los espacios de Hölder por otras razones, pero eso sería para otra respuesta.

compacidad

Los espacios Hölder tienen propiedades de compacidad muy elementales y favorables. Una secuencia de funciones con normas de Hölder acotadas tendrá una subsecuencia uniformemente convergente, y la norma de Hölder es semicontinua inferior bajo convergencia uniforme. La convergencia uniforme es extremadamente, sorprendentemente, útil cuando se estudian algunos tipos de PDE y, a menudo, es suficiente para pasar toda la PDE hasta el límite. Este es el caso de las soluciones distributivas de ecuaciones lineales y, de forma más llamativa, de las soluciones de viscosidad.

Fácil de usar y entender

La teoría de los espacios de Hölder no es muy profunda. A diferencia de los espacios de Sobolev, que interactúan de formas sutiles con la geometría del límite de un dominio, contienen funciones que generalmente no tienen sentido puntualmente, requieren tratar con derivadas distribucionales, etc., los espacios de Hölder son solo espacios de funciones equicontinuas con poco más en juego. .

Es fácil demostrar que una función es continua de Hölder, y las formas comunes de hacerlo se alinean bien con la forma en que nos acercamos a la EDP. Una forma de hacer esto es probar que

$$\max_{B_r(x)} u - \min_{B_r(x)} u \leq (1 - \theta)[ \max_{B_{2r}(x)} u - \min_{B_{2r}(x)}u]$$ para algunos$\theta > 0$, un decaimiento de la oscilación . Iterando esto da que$u$tiene algún módulo de Hölder en$x$. Este tipo de declaración es una que estamos felices de probar y probar para encontrar soluciones.$u$: limitando el máximo de$u$en una escala dada en términos de$u$en una bola más grande es algo para lo que realmente tenemos las herramientas, al menos para ecuaciones elípticas. También hay buenos enfoques para mostrar$u$es Hölder basado en Sobolev o$L^p$límites en todas las escalas (desigualdades de Morrey/Companato) y, a veces, los espacios de Sobolev se integran directamente en los espacios de Hölder.

Otro buen aspecto de los espacios de Hölder es que nos permiten hablar de un aumento de potencia fraccionaria en la suavidad sin tener que tomar derivadas (¿fraccionales?), o ninguna derivada en absoluto, y sin necesidad de la transformada de Fourier. No tener que tomar derivadas es una gran conveniencia técnica (vea cómo la mejora de la oscilación anterior es una declaración sobre la solución puntual; esto es excelente si diferenciar la ecuación es problemático); no tener que lidiar con nada fraccionario hace que todo sea mucho más explícito; no necesitar la transformada de Fourier es una buena noticia para las ecuaciones que interactúan mal con ella.

Nuestros mejores teoremas son verdaderos cuando$\alpha \in (0, 1)$

Claro, los espacios Hölder pueden ser buenos, pero ¿por qué no usar$\alpha = 1$? Resulta que es mucho, mucho más difícil probar que algo es Lipschitz, y que a menudo simplemente no es cierto. Considere la ecuación

$$\Delta u = f.$$ Heurísticamente esperamos que$u$es dos derivadas más suave que$f$, porque, bueno, eso es lo que parece decir la ecuación: algunas segundas derivadas de$u$igual$f$. Los resultados positivos reales en esta dirección son que si$f \in C^{0, \alpha}$, entonces$u \in C^{2, \alpha}$(Schauder), que si$f \in L^p$entonces$u \in W^{2, p}$cuando$p \in (1, \infty)$(Calderon-Zygmund), algunos teoremas similares que son$k$derivados de esto, y clasificaciones mucho más complicadas de lo que sucede en los puntos finales$\alpha = 0, \alpha = 1, p = 1, p = \infty$. En particular, ninguna de las versiones de punto final es verdadera, todas requieren modificaciones, diferentes espacios, etc. Este hecho, que los teoremas de análisis armónico tienen versiones de punto final más complicadas, es un tema recurrente en el campo, y significa que aunque nos encantaría trabajar con$\alpha = 1$, a menudo simplemente no se nos permite.

Hay otros tipos de teoremas donde podemos probar que existe un$\alpha > 0$tales que las soluciones (o sus derivados, o algo relacionado con ellos) están en$C^{0, \alpha}$. Aquí es posible que no esperemos que las funciones estén cerca de Lipschitz. El ejemplo más famoso de esto es el teorema de De Giorgi-Nash-Moser.

Otro uso de la continuidad de Hölder es en dinámica hiperbólica. Para empezar, considere un compacto$C^\infty$colector$M$dotado de un$C^2$métrica riemanniana$\mathfrak{g}$y un$C^1$difeomorfismo$f:M\to M$.$f$se llama (uniformemente) hiperbólico (o Anosov ) si hay una división invariante$TM=S(f)\oplus U(f)$, donde los vectores en el fibrado estable$S(f)$contratos bajo$Tf$exponencialmente rápido y vectores en el paquete inestable$U(f)$contratos bajo$Tf^{-1}$exponencialmente rápido cuando se mide con respecto a las normas inducidas por la métrica (por lo tanto, por compacidad, cualquier métrica) (ver ¿ Cuál es la constante de hiperbolicidad? para más detalles). heurísticamente$S_x(f)$es el conjunto de condiciones iniciales$y$infinitesimalmente cerca de$x$cuya delantera orbita bajo$f$converger a la órbita delantera de$x$exponencialmente rápido en el paso de tiempo, y una interpretación similar es válida para$U_x(f)$.

Anosov mostró en "Campos tangentes de foliaciones transversales en$\Upsilon$-Sistemas" que si se consideran las asignaciones$x\mapsto S_x(f)$y$x\mapsto U_x(f)$como secciones del paquete Grassmanniano$\operatorname{Gr}(TM)\to M$,$\operatorname{Gr}(TM)_x=\operatorname{Gr}(T_xM)=\{E\,|\, E \text{ is a linear subspace of } T_xM\}$, entonces son localmente continuos de Hölder, siempre que$f$es$C^2$(o$C^{1,\theta}$en el sentido de Definición de Hölder Space on Manifold ). Aquí la continuidad local de Hölder debe interpretarse de la siguiente manera: sea$x\in M$y deja$r_x(\mathfrak{g})\in\mathbb{R}_{>0}$Sea el radio de inyectividad de en$x$, de modo que$\exp_x^\mathfrak{g}: T_xM(0; r_x(\mathfrak{g}))\stackrel{\cong_{C^1}}{\hookrightarrow} M$es un$C^1$incrustación de la bola abierta en$T_xM$centrado en$0$con radio$r_x(\mathfrak{g})$; denotamos por$N_x$la imagen. Entonces sí$y\in N_x$, hay una geodésica única de$y$a$x$que define un transporte paralelo$\Pi_{x\leftarrow y}: T_yM\stackrel{\cong}{\to} T_xM$que induce un isomorfismo (isométrico) (de espacios homogéneos)$\operatorname{Gr}(\Pi)_{x\leftarrow y}=\operatorname{Gr}(\Pi_{x\leftarrow y}):\operatorname{Gr}(T_yM)\stackrel{\cong}{\to} \operatorname{Gr}(T_xM)$. Entonces para$\theta\in ]0,1]$, una sección$E:M\to \operatorname{Gr}(TM)$es localmente$\theta$-Titular continuo si

$$\exists C\in\mathbb{R}_{>0},\forall x\in M,\forall y\in N_x: \Vert \operatorname{proj}(E_x)-\operatorname{proj}(\operatorname{Gr}(\Pi)_{x\leftarrow y}(E_y)) \Vert_x\leq C d(x,y)^\theta,$$

dónde$\operatorname{proj}(V)$es la proyección ortogonal asociada al subespacio$V$.

La importancia de esto es esta: siempre que el difeomorfismo$f$es$C^1$, de modo que el mapa tangente$Tf$se define,$S(f)$y$U(f)$están bien definidas y dependen continuamente del punto base. Incluso cuando$f$es analítico real,$S(f)$y$U(f)$puede dejar de ser diferenciable; lo que genera problemas para integrarlos. Sin embargo, desde$x\mapsto S_x(f)$y$x\mapsto U_x(f)$son$C^{(0,\theta)}$para algunos$\theta\in]0,1]$, se integran únicamente a foliaciones transversales$\mathcal{S}(f)$y$\mathcal{U}(f)$. las hojas de$\mathcal{S}(f)$y$\mathcal{U}(f)$son tan regulares como$f$, sin embargo su regularidad transversal está gobernada por la regularidad de$x\mapsto S_x(f)$y$x\mapsto U_x(f)$; en particular, son localmente Hölder. Esta, a su vez, es la propiedad crucial que conecta la teoría ergódica con la dinámica diferenciable: las foliaciones estables e inestables siendo localmente Hölder garantiza la llamada propiedad de continuidad absoluta de estas foliaciones; lo que significa que las holonomías entre hojas inestables y las holonomías entre hojas estables no colapsan los volúmenes de hoja inducidos por la métrica de Riemann, por lo que los teoremas de Fubini a lo largo de las foliaciones estables e inestables están disponibles (aunque estas foliaciones no son continuamente diferenciables en general como se mencionó arriba). Esto, a su vez, se utiliza para establecer la ergodicidad de los difeomorfismos de Anosov conservando una medida de probabilidad de Borel de la clase de Lebesgue.

La noción de hiperbolicidad que definimos anteriormente se ha generalizado en varias direcciones (hiperbolicidad parcial, hiperbolicidad no uniforme, ...); y las adaptaciones del argumento anterior siguen siendo muy relevantes en estas situaciones generalizadas.