Aproximación uniforme de una función por funciones con una agradable transformada de Fourier

Suponer$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$es una función suave uniformemente acotada, uniformemente continua con límites en$\pm\infty$.

En particular,$f$tiene una transformada distribucional de Fourier.

Pregunta: ¿Existe una secuencia de funciones$f_n$tal que:

• $f_n\rightarrow f$uniformemente como$n\rightarrow\infty$,
• para cada$n$, la transformada de Fourier$\widehat{f}_n$es compactamente soportada y continua (o, en su defecto, sólo en$L^1(\mathbb{R})$)?

Pensamientos: Creo que esto se puede hacer si uno está feliz por el$\widehat{f}_n$tener transformadas distribucionales de Fourier. (Por ejemplo, se podría definir$f_n:=f*\phi_n$, dónde$\phi_n$es definido por$\phi_n=n\phi(nx)$para alguna función fija$\phi$con soporte compacto$\widehat{\phi}$y masa$1$. En ese caso,$\widehat{f}_n=\widehat{f}\widehat{\phi}_n$sería una distribución con soporte compacto, pero no necesariamente continua o$L^1$.)