Puntos extremos de la bola unitaria de un espacio de Banach

Dejar X sea ​​un espacio de Banach y sea B X denote la bola unitaria cerrada de X . Dejar mi X t ( B X ) denote el conjunto de todos los puntos extremos de la bola unitaria B X .

Cuando sea X es de dimensión finita, se sabe que mi X t ( B X ) ≠ ∅ . ¿Hay casos en los que mi X t ( B X ) = ∅ ?

¿La integridad juega algún papel aquí? ¿Es cierto que siempre tendremos mi X t ( B X ) ≠ ∅ para X es Banach y mi X t ( B X ) puede estar vacío en caso de X ¿no está completo?

Pista: considera L 1 [ 0 , 1 ]
O C 0 .
C 0 el espacio es incompleto donde como L 1 [ 0 , 1 ] Esta completo. Así que la integridad en realidad no tiene ningún papel aquí. ¿Estoy en lo cierto? @DavidMitra
C 0 Esta completo. Un resultado es que la bola unitaria cerrada de cada espacio dual tiene puntos extremos.
disculpas, de verdad C 0 es un subespacio cerrado de ℓ ∞ , por lo tanto completa.
Es posible que desee ver el teorema de Krein-Milman. en.wikipedia.org/wiki/Krein%E2%80%93Milman_theorem
definitivamente, miraré @daw

Respuestas (1)

Como se señaló en los comentarios, para los dos espacios de Banach C 0 y L 1 [ 0 , 1 ] , la bola unitaria no tiene puntos extremos.

Aquí está L 1 [ 0 , 1 ] .
Escribir ‖ ⋅ ‖ Para el L 1 norma. Escribir B := { F ∈ L 1 : ‖ F ‖ ≤ 1 } para la bola unidad. Dejar h ∈ B . Reclamamos h ∉ Ext. ⁡ ( B ) .
Caso 1. h = 0 . Entonces h = 1 2 ( 1 + ( − 1 ) ) dónde 1 es la función constante con valor 1 . Desde 1 ∈ B y − 1 ∈ B y 1 ≠ − 1 , concluimos que h no es un punto extremo de B .
Caso 2. 0 < ‖ h ‖ ≤ 1 . Definir la función ϕ : [ 0 , 1 ] → R por

ϕ ( t ) = ∫ 0 t | h |
Entonces ϕ es continuo, ϕ ( 0 ) = 0 y ϕ ( 1 ) = ‖ h ‖ > 0 . entonces alli esta t 0 ∈ ( 0 , 1 ) de modo que ϕ ( t 0 ) = 1 2 ‖ h ‖ . Ahora h = 1 2 ( h 1 + h 2 ) dónde
h 1 = 2 1 [ 0 , t 0 ] h , h 2 = 2 1 ( t 0 , 1 ] h
Entonces ‖ h 1 ‖ = ‖ h 2 ‖ = ‖ h ‖ ≤ 1 entonces h 1 , h 2 ∈ B . También, h 1 ≠ h 2 . Así que de nuevo concluimos que h no es un punto extremo de B .

Puedes encontrar mucho más sobre este interesante tema en

Diestel, J.; Uhl, JJ , Medidas vectoriales, Estudios matemáticos. No. 15. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense (AMS). XIII, 322 págs. $ 35,60 (1977). ZBL0369.46039 .

Gracias, señor, por esta respuesta detallada. ¿Podemos evitar el primer caso, como un punto extremo debe tener norma 1 . @GEdgar
+1 ¡Muy bien! @pmun como una ligera generalización, puede que le interese señalar que L 1 ( m ) admite puntos extremos si y sólo si m admite un átomo de medida positiva finita.
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