¿Cuál es la relación entre los espacios de Hausdorff localmente compactos y los espacios métricos separables completos?

Ambas implicaciones fallan.

espacio de producto$[0,1]^A$con$A$incontable es Hausdorff compacto pero no separable y no metrizable.

Espacio de Hilbert$l_2$es una métrica completamente separable, pero no localmente compacta.

Por supuesto, muchos espacios comunes tienen ambas propiedades. De hecho, un subconjunto abierto de$\mathbb R^n$es completamente metrizable separable localmente compacto de Hausdorff.

Dejar$I=[0,1]$con la topología estándar. Dejar$k$ser un cardenal infinito. Por el Teorema de Tychonoff (un producto de espacios compactos es compacto), el producto-espacio$I^k$es compacto

Es fácil demostrar que un producto de$T_2$espacios es$T_2$y es fácil demostrar que un compacto$T_2$el espacio es$T_4$. Así que el "tablón de Tychonoff"$I^k$es un espacio normal compacto. También es fácil mostrar que cualquier subespacio de un espacio normal es un$T_{3\frac 1 2}$espacio.

Teorema: Si$S$es un$T_{3\frac 1 2}$espacio y si$S$tiene una base (base)$B$con cardenal$|B|\le k$entonces$S$es homeomorfo a un subespacio de$I^k.$

Entonces, la clase de espacios compactos de Hausdorff y sus subespacios es, en este sentido, mucho más grande que la clase de espacios metrizables.

En particular, un espacio metrizable separable tiene una base contable por lo que es homeomorfo a un subespacio de$I^{\aleph_0}.$

Es difícil definir una medida contablemente aditiva útil en los conjuntos de Borel de un espacio que no es localmente compacto. Por ejemplo, en un espacio lineal normado de dimensión infinita (por ejemplo, espacio de Hilbert$\ell_2$) existe$r>0$tal que una bola abierta de radio$1$contiene una familia infinita separada por pares de bolas abiertas, cada una de radio$r$.