Suma de una serie que involucra potencias de números de Fibonacci.

Estoy interesado en esta serie:

$$\mathcal S_p=\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(F_n\right)^p}{2^{np}},\quad p\in\mathbb N,\tag1$$ dónde $F_n$son los números de Fibonacci , definidos por la recurrencia $$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\tag2$$ o por la fórmula explícita $$F_n=\frac{\phi^n-(1-\phi)^n}{\sqrt5},\quad\phi=\frac{1+\sqrt5}2.\tag3$$ Podemos encontrar eso $$\mathcal S_1=2,\quad\mathcal S_2=\frac{12}{25},\quad\mathcal S_3=\frac{376}{2201},\quad\mathcal S_4=\frac{16048}{221125},\quad\mathcal S_5=\frac{25697312}{765370111}.\tag4$$

• ¿Podemos probar que$\mathcal S_p$es siempre un racional?
• ¿Podemos encontrar una fórmula general, recurrencia o función generatriz para$\mathcal S_p$?

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Actualización: Pude obtener la siguiente fórmula que involucra una suma finita:

$$\mathcal S_p=\sum_{m=0}^p\binom{p}{m}\left(\vphantom{\Large|}\left(2\sqrt5\right)^p\,\phi^{p-2 m}+(-1)^{p-m+1}\right)^{-1}.\tag5$$