El teorema de Manes generalmente se expresa diciendo que la categoría de Eilenberg-Moore de la mónada de ultrafiltro es equivalente a la categoría de espacios compactos de Hausdorff. Sin embargo, me parece a partir de esta prueba https://www.math.leidenuniv.nl/scripties/BachStekelenburg.pdf que en realidad se puede construir un isomorfismo de categorías entre los dos.
¿Es correcta mi observación? Si es así, ¿por qué no se agrega esta información adicional a la formulación del teorema? ¿Quizás a los teóricos de categorías no les importa eso porque la equivalencia es suficiente para decir que dos categorías son "lo mismo"?
Estas categorías son de hecho isomorfas, ya que la equivalencia entre ellas es en realidad biyectiva sobre los objetos. De manera más general, las equivalencias de categorías concretas donde los objetos correspondientes en realidad tienen los mismos conjuntos subyacentes son típicamente isomorfismos (porque la equivalencia simplemente da una biyección entre estructuras de dos tipos diferentes en un conjunto dado, que respeta los morfismos de los dos tipos de estructuras ).
¿Quizás a los teóricos de categorías no les importa eso porque la equivalencia es suficiente para decir que dos categorías son "lo mismo"?
Sí, esto es exactamente correcto. Con mucho, la noción más utilizada de "igualdad" para las categorías es la equivalencia, no el isomorfismo. Incluso se podría decir que si desea exigir que las categorías sean isomorfas en lugar de solo equivalentes, lo que está haciendo probablemente no sea realmente una "teoría de categorías". Entonces, en las raras ocasiones en que tienes una equivalencia de categorías que en realidad es un isomorfismo, muchas personas ni siquiera lo notarían, y si lo hicieran, a menudo no lo considerarían digno de mención.
mateo casarosa
eric wofsey