¿Cómo pruebo que los monomorfismos canónicos de un coproducto en la categoría de espacios puntiagudos son incrustaciones topológicas?

Para simplificar la notación, solo hablaré sobre coproductos binarios, pero todo lo que diré funciona para coproductos arbitrarios. Suponga que está en una categoría que tiene un mapa entre dos objetos cualquiera (en particular, por ejemplo, esto es cierto en cualquier categoría con un objeto cero, y lo contrario es cierto si asume que la categoría tiene tanto un objeto inicial como un objeto). objeto terminal). Si tienes un coproducto$X\stackrel{i}\to Z\stackrel{j}\leftarrow Y$, entonces hay un mapa$p:Z\to X$tal que$pi=1$y$pj=f$, dónde$f$es cualquier mapa$X\to Y$. De ello se deduce que la inclusión$i:X\to Z$tiene inversa por la izquierda, es decir, es un monomorfismo dividido . Los monomorfismos divididos son prácticamente el mejor tipo de "incrustación" que puede tener en cualquier categoría. En particular, para espacios topológicos, es fácil ver que cualquier monomorfismo dividido debe ser una incrustación topológica. En términos más generales, las incorporaciones topológicas son exactamente los monomorfismos regulares en la categoría de espacios topológicos, y es fácil ver que un monomorfismo dividido es regular en cualquier categoría (es decir, con la notación anterior, es el ecualizador de$1:Z\to Z$y$ip:Z\to Z$).