Pensé que una ecuación de movimiento era algo en lo que te dan un Lagrangiano y, usando la ecuación de Euler-Lagrange, luego encuentras las ecuaciones de movimiento para ese sistema. Misma idea básica para el hamiltoniano pero con las ecuaciones de Hamilton.
Pero la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se escribe como
también asumí
Mi pregunta:
¿Alguien puede explicar por qué la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo no es un eom?
El TISE es una ecuación de valores propios debido a la aplicación de la separación de variables al TDSE; es una ecuación para la función espacial solamente.
¿Alguien puede explicar en qué sentido exactamente la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es una ecuación de movimiento?
Un Lagrangiano (densidad) para el cual el TDSE (y su conjugado) es un EOM es
Las construcciones adecuadas que se asemejan al formalismo de la mecánica cuántica existen en la mecánica clásica, pero van un poco más allá del formalismo lagrangiano. En mecánica clásica, puede representar un sistema mediante un espacio de fase con puntos correspondientes a los estados del sistema. Ahora, las funciones sobre ese espacio de fase forman un álgebra de Lie simpléctica junto con el corchete de Poisson como corchete de Lie. Las ecuaciones de Hamilton pueden verse como la acción del hamiltoniano actuando sobre la función espacial de fase y por la acción del corchete de mentira. Lo que dicen estas ecuaciones es que esta acción del hamiltoniano está relacionada con la derivada con respecto a un parámetro (tiempo) de estas funciones sobre el espacio de fases.
Si te ubicas en el punto de vista de Heisenberg de la mecánica cuántica, donde la dependencia del tiempo se ubica en los operadores, vemos una conexión directa. La ecuación de Hamilton junto con el corchete de Poisson, se puede relacionar con el presente caso reemplazando las funciones sobre el espacio de fase con operadores actuando sobre un espacio de Hilbert y reemplazando el corchete de Poisson con el conmutador como un corchete de Lie. Lo que obtienes son las ecuaciones de movimientos de la mecánica cuántica en la imagen de Heisenberg (si los operadores no dependen explícitamente del tiempo). Es bastante interesante que exactamente la misma estructura algebraica de movimiento (álgebra de Poisson) esté presente en la mecánica clásica y en la mecánica cuántica (¡e incluso QFT! Ver cuantización canónica), la diferencia está en las realizaciones utilizando diferentes objetos matemáticos.
Ahora, sabemos que podemos reescribir estas ecuaciones de dependencia del tiempo utilizando los vectores de estado en el espacio de Hilbert en lugar de los propios operadores. Esta es la imagen de Schrödinger y conduce a la ecuación que diste. Aquí también hay una analogía con la mecánica clásica cuando se considera que el hamiltoniano se puede usar para definir un flujo hamiltoniano en el espacio de fase que es esencialmente curvas en el espacio de fase parametrizado por lo que llamamos tiempo.
El caso de la ecuación de Shrödinger independiente del tiempo es un poco diferente. Cuando tienes la ecuación dependiente del tiempo y quieres resolverla, supones que las soluciones son separables en términos de dependencia del tiempo y dependencia del espacio. Y desde la teoría PDE, resolver la ecuación se reduce a resolver la ecuación independiente del tiempo por separación de variables.