¿Qué es un punto diabólico?

Muchos artículos definen un "punto diabólico" como un "valor propio doble semisimple". Sé que un valor propio semisimple es uno que tiene multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica para ser iguales. Sin embargo, no pude encontrar ninguna definición de un valor propio doble semi-simple.

Respuestas (1)

"Doble" simplemente significa un valor propio degenerado (raíz repetida de la ecuación característica), por lo tanto, un "valor propio semisimple doble" es un valor propio repetido una vez (es decir, con multiplicidad algebraica 2) que abarca un espacio vectorial 2D (es decir, su geometría la multiplicidad es también 2).

Puede consultar, por ejemplo, el segundo apartado de este trabajo ( e-print ), o el 4.1 de este ( e-print ), o el apartado 9.2.4 de este libro , o, al parecer, el capítulo 5 de este libro .

Estos puntos son relevantes principalmente porque están asociados a sistemas en bifurcaciones, es decir, sistemas estructuralmente inestables cuyo comportamiento puede cambiar cualitativamente bajo pequeñas perturbaciones. Tal sensibilidad se ha utilizado en la construcción de sensores muy sensibles, e incluso más sensibles que los puntos diabólicos son los "puntos excepcionales" aún más degenerados (donde "no solo coinciden las frecuencias resonantes sino también sus modos resonantes"). Ambas situaciones se ilustran esquemáticamente para los modos de propagación de la luz (consulte este artículo ) en la siguiente figura, que muestra los modos divididos con una intensidad de perturbación creciente. ϵ :

Los modos se dividen con la creciente intensidad de perturbación épsilon

Las intersecciones cónicas son características estables en el sentido de que una perturbación del sistema desplazará la intersección en lugar de romperla. ¿Es ese también el caso de las otras degeneraciones que describe? ¿O son más frágiles? Si de hecho son estables, a pesar de su orden superior, ¿puede comentar qué características permiten eso?
@EmilioPisanty, me refiero aquí a perturbaciones paramétricas. La degeneración es un solo punto en un espacio de parámetros 2D, por lo que una perturbación no la rompe, pero alejará al sistema de ella. En cuanto a los "más degenerados", no estaba claro, gracias por señalarlo. Incluí ahora en la respuesta la cita del Phys vinculado. Artículo de hoy que lo describe: "no sólo coinciden las frecuencias resonantes sino también sus modos resonantes".
@stafusa Los puntos excepcionales no son más que valores propios con su multiplicidad geométrica menor que la multiplicidad algebraica, ¿verdad?
@ChetanWaghela No lo sé. No había oído hablar de ellos antes de leer el artículo al que me vinculo, por lo que no tengo una comprensión más profunda de ellos.
@stafusa Ok, no hay problema.
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