¿Cómo surge el comportamiento no lineal del marco QM inherentemente lineal?

La no linealidad surge cuando se toma el límite de la dinámica cuántica en algún sentido. Dos ejemplos estándar son:

1) la aproximación semiclásica (es decir, el principio de correspondencia de Born) donde en el límite de los números cuánticos grandes ("$\hslash\to 0$") la dinámica lineal cuántica se convierte en la clásica (generalmente no lineal);

2) Aproximación del campo medio (es decir, el límite de un número muy grande de partículas), donde la dinámica de cada componente del sistema se modela mediante una dinámica no lineal efectiva (es decir, ecuaciones de Hartree o Gross-Pitaevskii como el límite de campo medio de sistemas de muchos bosones en materia condensada).

El tema de analizar rigurosamente este límite de campo clásico o medio es un tema muy activo en el dominio de la física matemática/análisis de PDE.

A partir de la experimentación y la intuición de las ecuaciones cuánticas, sugeriría lo siguiente como una resolución al menos parcial:

1. El primero es aclarar el estado de la linealidad de la mecánica cuántica y la no linealidad de la mecánica clásica: es decir, ¿qué es lineal en cuántica y no lineal en clásica? El truco aquí está en reconocer que la ecuación de Schrödinger, que es la ecuación lineal de la mecánica cuántica, no describe directamente el movimiento de un punto en el espacio físico, sino el movimiento de un punto en el espacio de Hilbert, un vector a menudo de dimensión infinita . espacio (lineal). Mientras que en la mecánica clásica las ecuaciones gobernantes (p. ej., las leyes del movimiento de Newton) gobiernan directamente el movimiento de un punto en el espacio físico. La correspondencia surge en que los elementos del espacio de Hilbert se pueden representar como funciones de valores complejos $\psi(x)$sujeto a restricciones adecuadas, mientras que este$x$representa la posición habitual que conocemos de la mecánica clásica. Esta función$\psi(x)$representa una forma de información ambigua sobre la posición$x$, a saber, es una distribución de probabilidad "norma-2, compleja": se puede decir que la posición de una partícula está más claramente definida si la distribución está estrechamente empaquetada y tiene un pico, y menos claramente definida si la distribución se extiende sobre una amplia gama de$x$-valores. Cuando se imagina que evoluciona con el tiempo, podemos escribir$[\psi(t)](x)$en su lugar, utilizando el método "curring" de la programación informática: esta es una función que devuelve una función para cada parámetro$t$, que luego se evalúa en$x$, para mantener la intuición.
2. Con eso abajo, el "movimiento clásico" aproximado , en el caso de una sola partícula, corresponde al caso donde un pico muy cerrado en el$\psi(t)$funciones para cada momento$t$se mueve mientras permanece bien enarbolado. La ubicación de este pico es la "posición más probable".
3. La no linealidad o divergencia exponencial en el caos clásico refleja una divergencia entre posiciones en el espacio de posiciones después de una pequeña perturbación, es decir, entre posiciones$x(t)$y$x^{*}(t)$dónde$x^{*}(0) = x(0) \pm \epsilon$para un pequeño$\epsilon > 0$. Es decir, al menos por un tiempo,$|x^{*}(t) - x(t)|$crece al menos exponencialmente de$\epsilon$. Esto correspondería en el "cuanto clásico" del punto 2 anterior a la separación exponencialmente creciente entre los picos de dos$\psi(0)$y$\psi^{*}(0)$funciones de onda iniciales cuyos centros de pico están separados por una pequeña$\epsilon$.
4. Pero, dado el punto 1, la divergencia relevante cuando se trata de que las ecuaciones cuánticas son lineales no es la divergencia en$x$-space, que en realidad es solo un índice que usamos para describir un elemento del espacio de Hilbert , ¡pero la divergencia dentro del propio espacio de Hilbert ! Y por eso, no puedes medirlo usando solo la distancia entre picos, sino que tienes que medir usando la noción adecuada de distancia en el espacio de Hilbert, de hecho, tener tal noción es parcialmente lo que constituye la idea del espacio de Hilbert en sí. Si$\psi$y$\phi$son dos elementos (vectores de Hilbert), representados como funciones de la manera anterior, entonces la distancia en el espacio de Hilbert es $$d(\psi, \phi) = -\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x) - \phi(x)|^2\ dx$$ (Esto es simplemente tomando la norma de la diferencia vectorial$\psi - \phi$.) Supongamos ahora que$\psi(x)$y$\phi(x)$son dos picos igualmente apretados, pero muy espaciados. No es difícil ver a partir de la resta que la función integrada es solo una función única con dos funciones ampliamente espaciadas en$x$, picos. La integral, sin embargo, no se preocupa por la distancia entre ellos en el$x$-coordine, solo el área debajo de ellos, y de hecho esto es esencialmente constante independientemente de su separación, ¡ya que es solo la suma de las áreas debajo de cada pico individualmente! Por lo tanto, incluso si los dos picos se separan exponencialmente en la clásica ($x$)-espacio, los dos elementos del espacio de Hilbert a los que corresponden, y que son los que gobiernan las ecuaciones cuánticas, ¡ no se separan en absoluto ! Por lo tanto, no hay inconsistencia, sobre esta base, entre el comportamiento lineal de la dinámica de Hilbert y el comportamiento no lineal altamente sensible de la ubicación del pico.
5. Un atributo final que puede ser importante es el hecho de que los estados de los sistemas cuánticos ligados (es decir, análogos a los clásicos ligados que se usan en el estudio del caos) están sujetos a recurrencia, es decir , la$\psi(t)$la evolución siempre se repetirá finalmente después de un intervalo adecuadamente largo, si no exactamente, de lo que se acercará arbitrariamente. La razón de esto es que cualquier estado vinculado$\psi$se puede expresar como una suma de estados propios de energía ligada cuya dinámica bajo la ecuación de Schrödinger es periódica, y el período es inversamente proporcional a la energía de cada estado. Para al menos un sistema siempre ligado (por ejemplo, el oscilador armónico cuántico o mejor el péndulo doble cuántico ), los estados ligados formarán un conjunto básico (generalizado, que permite infinitas combinaciones lineales) para el espacio de Hilbert, lo que significa que cualquier elemento de Hilbert dado puede ser expresada como una suma (infinita) de estos, efectivamente una "función de onda de la energía", "$\psi(E)$". La energía más baja tendrá el período más largo, los períodos disminuyen con el aumento de la energía. Para que la suma converja, los términos de mayor energía deben, por supuesto, tener amplitudes más bajas, y eso significa que después de un tiempo podemos ignorarlos efectivamente para producir una aproximación de muy alta precisión de cualquier estado inicial en el que comenzamos el sistema, quizás hasta los límites de cualquier error contaminante, y por lo tanto podemos considerarlo para el análisis teórico como si estuviera en tal estado. sí mismo, después de un período igual al mínimo común múltiplo de todos los períodos compuestos, incluso si la posición del pico de onda inicial no está en una órbita periódica clásica. ¿Cómo es esto consistente con el comportamiento clásico? Bueno, lo que sucede es que ejecutará, por un tiempo, un movimiento caótico, entonces elEl pico se extenderá lentamente y eventualmente llenará el espacio angular del péndulo doble, interfiriendo consigo mismo y convirtiéndose en un estado de niebla no clásico , donde el péndulo ahora se encuentra en un extraño borrón cuántico oscilante de orientaciones que no tiene equivalente en el clásico. teoría caótica, y esto puede persistir durante un tiempo atrozmente largo hasta que finalmente los componentes internos se encuentran de nuevo y sale para recordar en un solo paquete en la posición original, donde se repite de nuevo. Haciendo algo WEEEEEEEERDdespués de haberlo dejado durante mucho tiempo (regla intuitiva: si encuentra algo que "debería ser" agradable e intuitivo según una teoría razonablemente buena, pero según una teoría mejor, hará algo contradictorio con las predicciones de esa teoría, como repetirse o ser no caótico , entonces es casi seguro que tendrá que abrirse camino hasta allí), sortea las limitaciones del caos clásico y cumple con las exigencias de la teoría cuántica.

Prefiero responder a tu pregunta con mi pregunta. La electrodinámica clásica con ecuaciones de Maxwell es una teoría lineal. Sin embargo, hay muchos efectos allí donde vemos la no linealidad. La no linealidad proviene de la interacción con la materia cuando sus propiedades comienzan a depender de campos eléctricos o magnéticos. Sin embargo, las ecuaciones mismas son lineales.

Otros ya han mencionado que el punto aquí es que tiene linealidad en la ecuación para una variable particular (por ejemplo, función de onda en QM). Cuando intenta calcular otras variables (medibles) en un sistema interactivo, no sorprende que obtenga un resultado no lineal. Tomemos, por ejemplo, un átomo de dos niveles que interactúa con una onda electromagnética. Si resuelve las ecuaciones con precisión (sin suposiciones sobre un campo electromagnético débil o frecuencias muy alejadas de la resonancia, etc.), el resultado es que las propiedades electromagnéticas de la materia siempre son no lineales porque el estado del átomo ha cambiado después de la interacción con la luz y ahora interactúa de manera diferente (algunos electrones pasaron a un estado de mayor energía). Pero tanto las ecuaciones de Schroedinger como las de Maxwell aquí son lineales.

La mecánica cuántica tiene dos partes: una evolución lineal bien entendida y un proceso de medición bastante misterioso. La medida no es lineal. Uno puede encontrar una buena discusión sobre la medición cuántica en el libro de Roger Penrose "La nueva mente del emperador", donde se relaciona tentativamente con la conciencia del observador.

El caso de una versión cuantizada de un sistema caótico clásico se ha discutido en muchos artículos. Si el sistema evoluciona en completo aislamiento, sus valores esperados no coinciden con los de los sistemas caóticos clásicos debido a la interferencia. Pero los sistemas reales en la escala en la que observamos un comportamiento caótico no evolucionan de forma aislada, interactúan con el entorno. Esa interacción introduce términos adicionales a la ecuación de movimiento del sistema que hacen que los valores esperados cuánticos y clásicos coincidan entre sí en las escalas relevantes de longitud y tiempo "Decoherencia, caos, correspondencia cuántica-clásica y la flecha algorítmica del tiempo" de Zurek:

https://arxiv.org/abs/quant-ph/9803042

y muchos papeles similares. Cabe señalar que esto no es lo mismo que tomar el límite$\hbar\to 0$. Tampoco es lo mismo que simplemente dejar que los paquetes de ondas diverjan, lo que daría resultados que no coinciden en absoluto con el comportamiento coático clásico. Por ejemplo, en los sistemas caóticos clásicos, el comportamiento relevante es que las trayectorias que están muy juntas pueden exhibir un comportamiento muy diferente a lo largo del tiempo. Pero en la difusión de paquetes de ondas, toda la idea de las trayectorias es una mala aproximación debido a los términos de interferencia. La aproximación de la trayectoria solo funciona debido a la decoherencia.