Prueba analítica de que los exponentes de Lyapunov en sistemas hamiltonianos suman por pares cero

1. Estamos considerando una evolución en tiempo discreto.

   $$x_{n}~=~f(x_{n-1})~=~f^{n\circ}(x_0), \qquad n~\in~\mathbb{N},$$ en un$2N$variedad simpléctica -dimensional $(M,\omega)$, dónde$f$es un simplectomorfismo .

2. Por simplicidad trabajemos en coordenadas locales. Defina la matriz jacobiana como

   $$\tag{1} A(x,n)^{i}{}_{j}~:=~\frac{\partial (f^{n\circ} (x))^i}{\partial x^j}.$$

3. En coordenadas locales de Darboux , la matriz jacobiana (1) es una matriz simpléctica

   $$\tag{2} A^T\Omega A~=~ \Omega, \qquad \Omega ~:=~\begin{bmatrix} 0_N & -I_N \cr I_N & 0_N \end{bmatrix}.$$

4. Nótese que la transpuesta$A^T$es también una matriz simpléctica. Tenga en cuenta que$A^TA$es una matriz simpléctica definida positiva.

5. Mecanismo de cuarteto simpléctico: Para un diagonalizable$^1$matriz simpléctica, los valores propios forman cuartetos

   $$\tag{3} \{\lambda,\bar{\lambda}, \lambda^{-1},\bar{\lambda}^{-1}\}$$ en el plano complejo$\mathbb{C}$. Un cuarteto se convierte en un doblete en el eje real y en el círculo unitario.

6. Definir los exponentes de Lyapunov

   $$\tag{4} \left\{\lambda_1(x,n), \ldots, \lambda_{2N}(x,n)\right\}~\subset~\mathbb{R}$$ como los valores propios de la matriz hermítica $$\tag{5} \Lambda(x,n)~:=~\frac{1}{2n}\ln \left(A(x,n)^TA(x,n)\right).$$

7. Del mecanismo del doblete simpléctico (3) se sigue que los valores propios (4) se distribuyen simétricamente alrededor de 0 en el eje real$\mathbb{R}$.

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$^1$No todas las matrices simplécticas son diagonalizables. Contraejemplo 2D: