Dinámica simbólica de un sistema multidimensional

Dejar X t = F ( X t − 1 ) ser un sistema dinámico de tiempo discreto en el régimen caótico. A partir de una condición inicial X 0 , podemos generar una serie de tiempo ( X t ) dónde t = 1 , 2 , . . . , T indica el índice de tiempo.
A partir de esto, podemos generar símbolos de la siguiente manera: s t = 1 si F t ( X 0 ) > C , y s t = 0 de lo contrario, con C siendo el punto crítico del mapa unidimensional. Así que cada iteración del mapa F da un nuevo símbolo. Poniendo las secuencias de 0s y 1s en un vector de símbolos, obtenemos s = ( s 0 , s 1 , s 2 , … ) . (Consulte esta pregunta sobre la dinámica simbólica de los mapas unidimensionales para obtener una explicación más matemática sobre cómo se generan los símbolos).

Ahora, supongamos que tenemos un sistema bidimensional o, digamos, el sistema univariado (unidimensional) anterior se transforma en un sistema bidimensional utilizando la técnica de incrustación retardada de Takens de la siguiente manera: Dada una serie de tiempo unidimensional ( X t ) , un retraso τ , y alguna dimensión incrustada metro , se considera un mapa incrustado z t = ( X t , X t + τ , . . . , X t + ( metro − 1 ) τ ) ∈ R metro que genera los vectores fase-espacio z 1 , z 2 , … .

Como ejemplo, deja metro = 2 , τ = 1 , llámese a la primera coordenada obtenida X y la segunda coordenada y . ( X , y ) forma el nuevo sistema multidimensional. Mi problema es: ¿Cómo obtengo la dinámica simbólica para este caso? Ejemplo:

X = 0.10 , 0,45 , 0,60 , 0.42 , …
y = 0.00 , 0.10 , 0,45 , 0,60 , …

¿Habrá una secuencia simbólica para cada dimensión o se asignará un símbolo a un punto? ( X , y ) ? Una explicación será de gran ayuda para aclarar el concepto.

Respuestas (1)

¿Habrá una secuencia simbólica para cada dimensión o se asignará un símbolo a un punto? ( X , y ) ?

Esto depende de lo que finalmente desee hacer con su secuencia de símbolos, pero para aplicaciones típicas, como la determinación de la entropía o el modelado, desea asignar un símbolo al punto. La razón general detrás de esto es que (para una reconstrucción adecuada), le importa la ubicación en el espacio de fase y no los componentes individuales; ese es más o menos todo el punto del espacio de fase en general.

La forma sencilla de hacerlo es simbolizar cada componente y luego crear un símbolo compuesto (o "palabra"). Por ejemplo, si tiene dos símbolos posibles, 0 y 1 para cada componente, entonces tienes cuatro posibles símbolos compuestos ( 0 , 0 ) ; ( 0 , 1 ) ; ( 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 ) . Para leer más, véase, por ejemplo, Daw et al. – Una revisión del análisis simbólico de datos experimentales .

Otra forma es usar símbolos de permutación como se sugiere en Bandt y Pompe – Permutation Entropy: A Natural Complexity Measure for Time Series . Aquí considera el orden de los componentes y asigna un símbolo diferente a cada orden posible. Desde otro punto de vista, miras qué permutación tendrías que aplicar a los componentes para que estén en orden ascendente y asignas un símbolo a cada uno de los posibles metro ! permutaciones Por ejemplo, para un retardo incrustado con dimensión metro = 3 , tienes seis símbolos posibles, uno para cada uno de los siguientes casos:

  1. X t + 2 τ > X t + τ 2 > X t τ + 2 ;
  2. X t + 2 τ > X t τ + 2 ≥ X t + τ 2 ;
  3. X t + τ 2 ≥ X t + 2 τ > X t τ + 2 ;
  4. X t + τ 2 > X t τ + 2 ≥ X t + 2 τ ;
  5. X t τ + 2 ≥ X t + 2 τ > X t + τ 2 ;
  6. X t τ + 2 ≥ X t + τ 2 ≥ X t + 2 τ .

Usando los números como símbolos, con τ = 1 , y sin superposición entre símbolos, traduciría la siguiente serie temporal a símbolos de la siguiente manera:

1 , 7 , 6 ⏟ 3 , 4 , 6 , 5 ⏟ 3 , 3 , 0 , 3 ⏟ 5 , 6 , 1 , 0 ⏟ 6 , 2 , 2 , 4 ⏟ 6 , 7 , 3 , 5 ⏟ 5 , 7 , 6 , 9 ⏟ 2 .

Gracias por su respuesta. Según mi entendimiento, sugiere que cada coordenada debe simbolizarse independientemente de la otra coordenada usando el punto crítico (o la media de la serie de tiempo para esa coordenada) para cada coordenada. Entonces, en esencia, podemos decir que cada coordenada se itera desde una condición inicial y la representación simbólica de esa coordenada es la expansión binaria de la condición inicial de valor real. Por favor, corríjame si está mal.
Otra forma de simbolizar cuándo el sistema está incrustado con retraso es usar el punto de retraso en lugar del punto crítico. Esta técnica de simbolización es nueva para mí, gracias por presentarla/mencionarla. ¿Podría por favor presentar un ejemplo para metro = 3 ¿Cómo se vería la representación simbólica para la incrustación de retraso? Muchas gracias por tu esfuerzo y tiempo.
He hecho otra pregunta que continúa con esta publicación aquí physics.stackexchange.com/q/248951 ¿Podría echar un vistazo y tal vez pueda proporcionar una mejor explicación?
@SKM: Entonces, en esencia, podemos decir que cada coordenada se itera desde una condición inicial y la representación simbólica de esa coordenada es la expansión binaria de la condición inicial de valor real. – La condición inicial no es de valor real sino de valor vectorial. Además, no olvide que los componentes interactúan entre sí. Finalmente, no veo cómo esto es relevante para el problema en cuestión.
@SKM: otra forma de simbolizar cuándo el sistema está incrustado con retraso es usar el punto de retraso en lugar del punto crítico. – No estoy exactamente seguro de lo que quiere decir con punto de retraso. — ¿Podría por favor presentar un ejemplo para metro = 3 ¿Cómo se vería la representación simbólica para la incrustación de retraso? – Ver mi edición.
Última pregunta: cuando dice que la condición inicial tiene un valor vectorial, ¿quiere decir que cada componente del vector es el valor inicial de ese componente? Por ejemplo: un punto (x,y,z) en el espacio incrustado tiene una condición inicial como vector ( X 0 , y 0 , z o ) ? ¿Podría proporcionar una referencia / enlaces donde pueda tener una introducción formal a este tema, especialmente la asignación de símbolos después de la incrustación retrasada? ¡Muchas gracias!
@SKM: Por ejemplo: ¿un punto (x,y,z) en el espacio incrustado tiene una condición inicial como vector (x₀,y₀,z₀)? – Sí, aunque si se trata de vectores incrustados en retardo, no todas las opciones de vector inicial pueden ser válidas. Por ejemplo, podría ser que usted debe tener F ( X 0 ) = y 0 y F ( y 0 ) = z 0 . — ¿ Podría proporcionar una referencia / enlaces donde pueda tener una introducción formal a este tema, especialmente la asignación de símbolos después de la incrustación retrasada? – Esta es una ciencia propia. Los artículos vinculados deberían servirle como punto de partida para una investigación bibliográfica.
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