El artículo de Wolf Determinación de los exponentes de Lyapunov a partir de una serie temporal establece que:

Los datos experimentales suelen consistir en mediciones discretas de un solo observable. La conocida técnica de reconstrucción del espacio de fases con coordenadas de retardo [2, 33, 34] permite obtener a partir de una serie temporal de este tipo un atractor cuyo espectro de Lyapunov es idéntico al del atractor original.

Uno de los artículos citados, Geometry from a Time Series , elabora:

La idea heurística detrás del método de reconstrucción es que para especificar el estado de un sistema tridimensional en un momento dado, la medición de tres cantidades independientes cualquiera debería ser suficiente [...]. Las tres cantidades típicamente utilizadas son los valores de cada coordenada del espacio de estado,$x(t)$,$y(t)$, y$z(t)$. Hemos encontrado que [...] uno puede obtener una variedad de tres cantidades independientes que parecen producir una representación fiel del espacio de fase de la dinámica del original$x$,$y$,$z$espacio. Un conjunto posible de tres de tales cantidades es el valor de la coordenada con sus valores en dos momentos anteriores, por ejemplo$x(t)$,$x(t - \tau)$, y$x(t - 2\tau)$.

Finalmente, el artículo de Rosenstein Un método práctico para calcular los exponentes de Lyapunov más grandes a partir de pequeños conjuntos de datos establece que:

El primer paso de nuestro enfoque consiste en reconstruir la dinámica del atractor a partir de una única serie temporal. Usamos el método de retrasos [27, 37] ya que uno de los objetivos de nuestro trabajo es desarrollar un algoritmo rápido y fácil de implementar. La trayectoria reconstruida, X, se puede expresar como una matriz donde cada fila es un vector de espacio de fase. Eso es,

$$X = [X_1\;X_2\; ...\,X_M]^T$$ dónde $X_i$es el estado del sistema en tiempo discreto $i$.

Los tres documentos parecen asumir implícitamente que el sistema en estudio tiene un espacio de fase multidimensional, pero que solo una dimensión puede medirse experimentalmente y, por lo tanto, los datos del espacio de fase completo deben reconstruirse a partir de una serie de tiempo unidimensional.

Sin embargo, ¿qué pasa si la serie de tiempo es multidimensional, de hecho de la misma dimensión que el espacio de fase, para empezar? Por ejemplo, considere el problema de demostrar experimentalmente que un péndulo simple no es caótico. El espacio de fase es de 4 dimensiones ($r$,$\dot r$,$\phi$,$\dot \phi$) y es sencillo diseñar un experimento que genere una serie de tiempo de 4 dimensiones de los valores de estas variables en cada paso de tiempo.

¿Es posible omitir la reconstrucción en este caso y usar$X = [r\; \dot r\; \phi\; \dot \phi]^T$en lugar de la trayectoria reconstruida en el artículo de Rosenstein, sin modificaciones adicionales? ¿Existe una forma más sencilla de calcular los exponentes de Lyapunov cuando se conoce el estado completo del espacio de fase del sistema?