Plano de Poincaré y Mapa Logístico

Para los sistemas dinámicos en general, normalmente simula la dinámica en una computadora, por ejemplo, integrando numéricamente ecuaciones diferenciales o iterando un mapa, y luego puede analizar sus datos. Las herramientas mencionadas en la pregunta se utilizan principalmente para visualizar las soluciones:

• un retrato de fase suele ser el gráfico de una o más trayectorias en el espacio de fase del sistema (que es su espacio de estado, es decir, un espacio donde cada punto denota un estado de sistema diferente);
• un gráfico de Poincaré es (para sistemas 1-D) un gráfico de, por ejemplo,$x_{n+1}$contra$x_n$, es decir, para una trayectoria$x_0, x_1, x_2, x_3, ...$el diagrama de Poincaré será 2-D con puntos$(x_0,x_1), (x_1,x_2), (x_2,x_3), ...$;
• no mezcle el diagrama de Poincaré con el mapa de Poincaré de nombre similar , que muestra trayectorias en una dimensionalidad más baja que la del sistema, por medio de una sección de su espacio de fase (para obtener detalles, consulte las respuestas 1 y 2 , Wikipedia , .. .). En cuanto al mapa logístico, es 1-D, por lo que tiene una sección/mapa 0-D Poincaré, que no es tan útil para fines de visualización.

¿Cómo podemos dibujar el plano de Poincaré y el retrato de fase en el mapa logístico para diferentes valores de parámetros?

1. elegir el valor del parámetro$r$;
2. elegir una condición inicial para la variable de estado$x$: eso es$x_{n=0}$;
3. obtener$x_0$la trayectoria iterando$x_{n+1}=rx_n(1-x_n)$.

Ahora, con esta trayectoria en las manos, puede obtener gráficos (a mano o software) como el gráfico de Poincaré para$r=4$que se muestra en la entrada de Wikipedia del mapa logístico :

Para un valor de parámetro diferente, obtendría una gráfica diferente. Un diagrama tridimensional con ejes$r$,$x_{n+1}$, y$x_n$también sería una posibilidad.

El retrato de la fase logística es simplemente un segmento de línea,$x_n \in [0,1]$. Puede mostrar qué partes de él están más densamente pobladas por trayectorias, y un gráfico 2-D de$\{x_n\}$en función del parámetro$r$se conoce como diagrama de bifurcación . De nuevo de Wikipedia :

También vale la pena mencionar, al menos para mapas 1-D, el diagrama de telaraña , que es esencialmente una representación gráfica del proceso de iteración que es muy útil para obtener una intuición sobre el proceso. Los ejemplos de Wikipedia usan precisamente el mapa logístico: