Imprevisibilidad, según definiciones de comportamiento caótico

Aparentemente, he estado confundido acerca de los significados de "comportamiento caótico". Siempre pensé que significaba que las perturbaciones infinitesimales de un parámetro del sistema darían lugar a grandes cambios en el comportamiento del sistema y, por lo tanto, el comportamiento del sistema es impredecible, aunque podría ser determinista.

Sin embargo, más recientemente, tengo la impresión de que a veces "comportamiento caótico" tiene una segunda definición en la que simplemente significa "comportamiento aperiódico". Esto del artículo, Complejidad en Sistemas Lineales... . Quizás haya definiciones adicionales de "comportamiento caótico". Pero: ¿el comportamiento aperiódico determinista sería efectivamente impredecible en el mismo sentido que la imprevisibilidad según la primera definición?

Hay muchos aspectos confusos en esta pregunta: 1) La sensibilidad a pequeñas perturbaciones se trata de perturbaciones de la condición inicial, no de los parámetros. 2) El caos no se trata solo de sensibilidad a pequeñas perturbaciones. De lo contrario y ˙ = y sería caótico. 3) ¿Qué quiere decir exactamente con aperiódico? ¿Incluye dinámicas cuasi periódicas, explosivas o de punto fijo? Ese documento que cita no contiene esta palabra.
¿Existe una diferencia importante entre las perturbaciones de las condiciones iniciales y las perturbaciones de las variables del sistema en un momento arbitrario? Siempre he pensado en las "condiciones iniciales" como todas las condiciones del sistema en el punto de partida de un experimento o un cálculo. Por aperiódico, me refiero a la definición de Miriam-Webster: 1) de ocurrencia irregular: no periódico; 2) no tener vibraciones periódicas: no oscilatorio. Es decir, el comportamiento aperiódico no puede describirse con precisión como O(t) = O(t+n delta t).
Entonces, un sistema con dos componentes periódicas A y B cuyos períodos son ka y kb , donde ka y kb están en la relación ka/kb = R donde R es irracional, creo que sería aperiódico porque no habría delta t que hace O(t) = O(t+n delta t) . ( O(t) es el estado del sistema en el tiempo t ).
@S.McGrew, su ejemplo parece que podría ser aperiódico, pero no es caótico, sino casi periódico .
@S.McGrew, la distinción entre parámetros y variables de estado suele ser muy importante: las variables de estado generalmente evolucionan en función de, digamos, el tiempo y los valores anteriores de las variables de estado; mientras que los parámetros son casi siempre constantes y, cuando no, varían independientemente de las variables de estado. Además, en cierto sentido, cuando cambia un parámetro, está cambiando el sistema en estudio.

Respuestas (1)

Pero: ¿el comportamiento aperiódico determinista sería efectivamente impredecible en el mismo sentido que la imprevisibilidad según la primera definición?

No necesariamente. Según su definición, esto incluye el comportamiento cuasiperiódico, es decir, una superposición de dos (o más) comportamientos periódicos con frecuencias inconmensurables. Tal dinámica se caracteriza por dos (o más) exponentes cero de Lyapunov y ninguno positivo. Como un exponente positivo de Lyapunov indica directamente sensibilidad a las condiciones iniciales, no tenemos este problema y los consiguientes problemas de imprevisibilidad. Todo lo que necesita saber para la predicción son las fases de cada una de las oscilaciones subyacentes y pequeños errores en la medición de estos tienen una consecuencia igualmente grande en el error de su predicción.

Como ejemplo muy práctico, la posición de la luna en relación con el sol y la tierra es cuasiperiódica en escalas de tiempo históricas (siendo las frecuencias inconmensurables el período sinódico, la precesión nodal y absidal). Sin embargo, los eclipses son bastante predecibles con siglos de anticipación.

¡Esa respuesta es útil!
Sin embargo: somos capaces de predecir el clima cuyo comportamiento caótico está gobernado por PDE no lineales; es solo que la precisión de nuestros pronósticos se desmorona después de unos días o semanas (en lugar de unos pocos siglos como en el caso de los eclipses). La escala de tiempo de la previsibilidad precisa dado un conjunto finito de medidas no parece una buena manera de distinguir el comportamiento caótico del no caótico. Parece que ninguna medida finita de un sistema de caja negra podría realmente determinar si el sistema es caótico o no.
Tenga en cuenta que el ejemplo de la luna solo sirve como ilustración, no como prueba. Todos los sistemas reales están inevitablemente acoplados a los caóticos, la pregunta es en qué tiempo y amplitud se hace visible el caos. Además, para demandas suficientemente altas de una prueba, no puede demostrar que cualquier sistema real es caótico, por supuesto. Pero, de nuevo, eso se aplica a las pruebas experimentales de cualquier cosa.
Plantearé una nueva pregunta para abordar las preguntas que sus comentarios han evocado en este extremo, después de que avance un poco hacia la comprensión de los exponentes de Lyapunov.
Imprevisibilidad, según definiciones de comportamiento caótico
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 1v