Mapas e interpretación de Poincaré

La idea esencial de un mapa de Poincaré es resumir la forma en que representa un sistema dinámico. Para esto, el sistema debe tener ciertas propiedades, a saber, regresar a alguna región en su espacio de estado de vez en cuando. Esto se cumple si la dinámica es periódica, pero también funciona con dinámicas caóticas.

Para dar un ejemplo simple, en lugar de analizar toda la trayectoria de un planeta, solo miraría su posición una vez al año, más precisamente, cada vez que interseca (con una dirección determinada) un plano

• que es perpendicular al plano en el que se encuentran las trayectorias de los planetas,
• que contiene el cuerpo celeste central alrededor del cual gira el planeta.

Este plano es una sección de Poincaré para la órbita de este planeta, ya que es transversal al flujo del sistema (que va a lo largo de las trayectorias del planeta).

Ahora bien, si la órbita del planeta es exactamente periódica con una duración de período correspondiente a un año, nuestro registro anual siempre arrojaría el mismo resultado. En otras palabras, nuestro planeta se cruzaría con la sección de Poincaré en el mismo punto todos los años. Sin embargo, si la órbita del planeta es más complicada, por ejemplo, la precesión del Perihelio de Mercurio , el punto de intersección con la sección de Poincaré cambiará ligeramente cada año. Luego puede considerar un mapa de Poincaré que describe cómo el punto de intersección de un año depende del punto de intersección del año anterior.

Si bien solo he mirado la posición geométrica para este ejemplo, también puede mirar otros observables y probablemente necesite hacerlo, si no puede deducir completamente la posición en el espacio de fase a partir de la posición geométrica. En nuestro ejemplo, también necesitarías registrar el impulso del planeta (o algún otro observable).

Ahora, ¿cuál es el propósito de esto? Si la órbita de nuestro planeta solo se desvía ligeramente de la periodicidad perfecta, lo que sucede durante un año es simplemente ir en círculos y, por lo tanto, es "bastante aburrido" y ofusca las cosas interesantes que suceden en una escala de tiempo más grande. Este último se puede observar en nuestro mapa de Poincaré, que nos muestra cómo la órbita cambia ligeramente cada año. Por lo tanto, puede ser más fácil o más ilustrativo analizar simplemente el mapa de Poincaré en lugar de toda la trayectoria. Esto es aún más pronunciado para el billar: entre dos colisiones con un límite, la dinámica es solo$\dot{x}=v$.

En particular, ciertas propiedades de su dinámica subyacente se traducen en el mapa de Poincaré, por ejemplo: si la dinámica es caótica, también lo es su mapa de Poincaré. Si, en el ejemplo de nuestro planeta, la dinámica es periódica con un período de cuatro años, su mapa de Poincaré alternará entre cuatro puntos. Si su dinámica es cuasi-periódica con dos frecuencias inconmensurables (por ejemplo, si un observable es$\sin(x)+\sin(\pi x)$), todas las intersecciones con su sección de Poincaré estarán en una curva cerrada. Por ejemplo, la mayoría de las trayectorias rectas en la superficie de un toro corresponden a una dinámica con frecuencias inconmensurables y eventualmente se acercarán arbitrariamente a cualquier punto del toro, es decir, llenan la superficie del toro. Así, la intersección de la trayectoria con una sección de Poincaré que es perpendicular a la superficie del toro en todos los puntos producirá el borde de un círculo (y las secciones de Poincaré no perpendiculares producirán algo parecido a una elipsis). En general, la dimensión de las intersecciones con la sección de Poincaré es la dimensión del atractor menos uno.

Además, si desea modelar un sistema observado en el sentido de encontrar ecuaciones que reproduzcan su dinámica hasta cierto punto, puede comenzar modelando el mapa de Poincaré (es decir, encontrar una fórmula explícita para él).