¿Qué es un pseudotensor, realmente, y cómo saberlo?

Tengo algunos problemas con el concepto de "pseudotensor". Wikipedia distingue entre eso y una densidad de tensor (por ejemplo, aquí , donde ambos conceptos se usan simultáneamente) mientras que, por ejemplo, en Mathworld de Eric Weisstein dicen que

Un pseudotensor a veces también se denomina densidad tensorial.

Estas son dos declaraciones manifiestamente incompatibles, y si me preguntan, me inclino a creer que la definición de Wikipedia de un pseudotensor, que no sea un sinónimo de una densidad de tensor, no puede formularse rigurosamente, es decir, tal cosa no existe. El propósito de esta pregunta es confirmar o refutar matemáticamente esta afirmación. Algunos detalles siguen para justificar mi caso. "Pseudo" se usa en su significado de "Wikipedia": cambio de signo bajo inversión, lo que sea que signifique inversión (discutido a continuación).

Apreciaría que los respondedores leyeran la pregunta en su totalidad y consideraran mi problema específicamente (y usando mi "lenguaje", si es posible) , en lugar de ir con definiciones o ejemplos "stock". Tampoco "mirar algo en un espejo" a menos que pueda poner eso en fórmulas y argumentar que es una transformación pasiva o activa de algún tipo. Además, tenga en cuenta que las fuentes "habituales" en su país / plan de estudios pueden no estar fácilmente disponibles para mí, por lo que le agradecería mucho que al citarlas también pudiera citar la parte relevante.

Con esto fuera del camino, aprecio que todas estas cantidades se definen a través de fórmulas, sus elementos en sistemas de coordenadas dados se someten a transformaciones. Sin embargo, lo que la mayoría de las fuentes descuidan es la distinción entre transformadas pasivas y activas y, lo que es peor, entre la orientación de un espacio vectorial y la orientación de su base . Para simplificar, supongamos solo transformadas lineales de espacios lineales; esto debería ser WLOG para los propósitos de la pregunta como se indica.

Entonces, bajo una transformada pasiva , uno compara las descomposiciones de la misma cantidad en dos bases$E = (e_1, \ldots, e_n)$y$F = (f_1, \ldots, f_n)$, dónde$f_i = S^j_{\ i} e_j$,$S = (S^k_{\ l})_{k,l=1}^n \in GL(n)$. A$k$veces covariante y$l$veces la densidad del tensor contravariante$T$de peso$w$transforma, por la definición que conozco, como

$$\tilde T^{i_1,\ldots,i_l}_{j_1,\ldots,j_k} = (\det S)^w\ S^{m_1}_{\hphantom{m_1}j_1} \ldots S^{m_k}_{\hphantom{m_k}j_k}\ (S^{-1})^{i_1}_{\hphantom{i_1}n_1} \ldots (S^{-1})^{i_l}_{\hphantom{i_l}n_l}\ T\strut^{n_1, \ldots, n_l}_{m_1, \ldots, m_k}$$ dónde $T\strut^\ldots_\ldots$y $\tilde T^\ldots_\ldots$denota los componentes en $E$y en $F$, respectivamente. (La convención de signos de $w$puede diferenciarse.)

Dado que estamos mirando el mismo objeto en diferentes sistemas de coordenadas, no hay razón para que el objeto cambie, solo su representación . Me han dicho ( [1] , [2] ) que un ejemplo típico de un pseudoescalar en$\mathbb{R}^3$es un producto triple,$(\vec a,\vec b,\vec c) = \vec a \cdot (\vec b \times \vec c)$ya que "cambia de signo" bajo "inversión". Considere, sin embargo: en mi notación, la inversión es solo otra$GL(n)$matriz$S^i_{\ j} = -\delta^i_{\ j}$, y la definición "sin coordenadas" del producto triple es

$$s := (a,b,c) = \omega(a,b,c)$$ dónde $\omega$es una cierta forma de 3 asociada con el espacio, conocida como su forma de volumen. En una base ortonormal "diestra" $E$, eso es, $$e_i \cdot e_j = \delta_{ij}, \qquad \omega(e_1,e_2,e_3) = +1,$$ los componentes de $\omega$son $$\omega_{ijk} = \epsilon_{ijk}$$ y así podemos expresar $s$como $$s = \omega_{ijk} a^i b^j c^k = \epsilon_{ijk} a^i b^j c^k.$$ Si ahora elegimos una base $F = (-e_1,-e_2,-e_3)$(que es zurdo), la cantidad $s$se transforma como $$\tilde s = \tilde w_{ijk} \tilde a^i \tilde b^j \tilde c^k,$$ donde todos $a,b,c$son contravariantes y $\omega$es completamente covariante, por lo que $$\tilde a^i = -a^i, \quad \tilde b^j = -b^j, \quad \tilde c^k = -c^k$$ y también $$\tilde \omega_{ijk} = (-1)^3 \omega_{ijk} = -\epsilon_{ijk}$$ por la relación anterior. De este modo $$\tilde s = -\epsilon_{ijk} (-a^i) (-b^j) (-c^k) = +\epsilon_{ijk} a^i b^j c^k = +s,$$ como se esperaba. Por supuesto, simplemente mirando la misma cantidad (ya sea $s$, $\omega$, un producto cruzado o cualquier otra cosa) en una base diferente , no hay razón para que la cantidad cambie, solo quizás su descripción numérica : eso es lo que significa una transformación pasiva.

no me opongo a creer eso$s$ es como pseudoescalar, pero soy firme al decir que una transformación pasiva no puede manifestar distinción de un escalar adecuado . Esto se debe a que, aunque la orientación de dos bases puede diferir fácilmente, la orientación del espacio en sí es su propiedad inherente, sin verse afectada por la base que elijamos para descomponer sus elementos, por lo que no hay transformaciones pasivas de "cambio de orientación". En otras palabras, mientras que el resultado anterior muestra que$s$es consistente con ser un escalar (de densidad cero), no muestra que en realidad no pueda ser un pseudoescalar, la inversión de coordenadas simplemente no probó esto porque en realidad no tuvo lugar ningún cambio en la orientación (del espacio).

(El mismo razonamiento funciona sin cambios significativos si$s$se reemplaza por otro ejemplo típico, el producto vectorial, como se define usando la estrella de Hodge.)

Esto deja transformadas activas que posiblemente podrían distinguir un pseudoescalar de un escalar propio. Bueno, definiendo (para comparar)$T = -\mathbb{I}$e introduciendo nuevos vectores (transformados activamente)

$$A^i = T^i_j a_j = -\delta^i_{\ j} a_j = -a_i, \quad B^i = -b^i, \quad C^i = -c^i$$ y su triple producto en el espacio vectorial original , $$S = \omega(A,B,C) = \epsilon_{ijk} A^i B^j C^k = (-1)^3 \epsilon_{ijk} a^i b^j c^k,$$ de hecho obtenemos $-s$(de acuerdo con las fuentes citadas). Pero, ¿cómo se justifica decir nada acerca de las propiedades de $s$cuando $S$es una nueva cantidad (sólo definida de forma análoga)?

Lo que es peor, si tomamos una transformada activa "arbitraria" dada por un genérico$T \in GL(n)$y recalcular$S = (A,B,C)$para las imagenes$A, B, C$, obtenemos

$$S = \epsilon_{ijk}\ T^i_{\ p} T^j_{\ q} T^k_{\ r}\ a^p b^q c^r = \det T\ \epsilon_{pqr} a^p b^q c^r = \det T \cdot s,$$ entonces si aceptamos eso $s$es un pseudoescalar solo porque $S$tenía un signo diferente para una elección particular de un $\det < 0$matriz, podemos ver que el mismo razonamiento llevaría a $S$cambiando también su magnitud (haciendo que en realidad se comporte como una densidad escalar, en lugar de un pseudoescalar, en términos de su transformación expresada usando $s$). Se podría argumentar que las transformadas activas por $T \not\in O(3)$no son físicos, pero, de nuevo, las rotaciones incorrectas no se pueden "alcanzar" en el mundo real mejor que, por ejemplo, las que no conservan el volumen.