He estado aprendiendo durante un tiempo sobre multivectores y formas y cómo simplifican muchas cosas que en el cálculo vectorial simple parecen ser complicadas. El único problema hasta ahora es que, a diferencia del cálculo vectorial, no puedo comprender cómo usar esos objetos en física.
Por ejemplo, sé que un -cuchilla representa una pieza orientada de subespacio vectorial -dimensional de un espacio vectorial, sé que -forms representa formas de "medidas" de esos multivectores y todo eso, pero simplemente no sé cómo usarlos en la práctica como aprendí en el pasado con el producto punto, el producto cruzado, la integración en el plano y el espacio y así sucesivamente.
¿Hay algún libro por ahí que muestre esas cosas de una manera adecuada para un físico ? Sé que hay muchos libros buenos para los matemáticos, pero se centran principalmente en demostrar las consecuencias de las definiciones, en lugar de aplicarlas. Estoy buscando algo que muestre cómo aplicar realmente en física todos los elementos del cálculo en variedades.
Lo que realmente quiero decir es lo siguiente: la mayoría de los libros de matemáticas sobre los temas solo explican cómo probar teoremas. Y muchas veces veo la exposición y pienso "no es posible usar esto en la práctica" mientras hay toneladas de interpretaciones y usos en Física. Simplemente no encontré todavía un libro que muestre esto.
Solo un ejemplo de lo que digo: en electrostática empezamos con la ley de Coulomb que nos da la fuerza eléctrica entre dos cargas. De eso y del principio de superposición obtenemos una expresión para el campo eléctrico. Todo esto se hace con vectores, de modo que cuando estudiamos esos objetos usamos la divergencia, el rotacional y toda esa maquinaria del cálculo vectorial. Parece sencillo representar esas cosas como vectores, pero no parece obvio hacerlo con formularios. De hecho, ni siquiera sé cómo escribir esto en términos de formas sin escribir primero con vectores y luego transformar con una métrica.
EDITAR: Principalmente estoy buscando recursos que cubran este tema en las líneas que el cálculo vectorial parece en el libro "Métodos matemáticos para físicos" de Arfken y los capítulos introductorios sobre "Introducción a la electrodinámica" de Griffith y "Dinámica clásica de partículas y sistemas" de Marion. ". No sé si este tipo de recurso puede ayudar, pero pensé que esta edición podría hacer que mi pregunta sea más específica.
Kyle Kanos mencionó Álgebra geométrica para físicos . Mientras que el álgebra geométrica es algo diferente en la notación de las formas diferenciales, los conceptos básicos están todos ahí, y en muchos sentidos, el álgebra geométrica evita algunas cosas engorrosas que hacen las formas diferenciales (estoy pensando en la dualidad de Hodge en particular). Creo que la notación es más fácil de relacionar con el cálculo vectorial que con las formas diferenciales.
El libro en sí es una introducción de nivel intermedio al álgebra geométrica, con un énfasis significativo en las aplicaciones. Los primeros capítulos tratan los conceptos básicos: el álgebra en sí, las operaciones de multiplicación, el álgebra lineal y el cálculo de campos multivectoriales.
Todos estos son esenciales para las aplicaciones que se discuten. La electrodinámica y la relatividad especial forman el primer tema principal. Habiendo mostrado la forma de las rotaciones utilizando rotores de tipo cuaternión en 3D, los pasajes de la relatividad especial hacen un buen uso de una construcción similar para los impulsos de Lorentz. También se discute el campo EM como un bivector, así como la forma de las ecuaciones de Maxwell usando el cálculo geométrico y el álgebra del espacio-tiempo.
Luego, el libro continúa explorando aplicaciones hacia la mecánica cuántica. Creo que este fue un enfoque principal de los autores, pero para mí, esta sección fue considerablemente menos clara o elegante. Los autores se limitan a tratar partículas de espín-1/2, mostrando que el álgebra de espín-1/2 es idéntica al álgebra del espacio-tiempo, y que las operaciones de espín pueden entenderse geométricamente. Todo muy bien, pero creo que esto es bastante insuficiente, y se habría justificado alguna consideración o tratamiento de cómo GA podría usarse ampliamente para la mecánica cuántica.
Al final de esto hay una estancia en la relatividad general, motivada en parte por tratar de generalizar la ecuación de Dirac. Por lo tanto, en lugar del GR clásico propiamente dicho, obtenemos algo así como una alternativa al formalismo de Cartan. Creo que este es un punto de gran interés, ya que el uso de GA aquí logra desmitificar mucha manipulación de tensores inherente a GR. Esta sección contiene un ejemplo ampliado y bien trabajado de espaciotiempos esféricamente simétricos, así como una breve discusión de espaciotiempos axialmente simétricos, por lo que se consideran tanto los agujeros negros de Schwarzchild como los de Kerr, junto con las estrellas y las cuerdas cósmicas.
El libro es algo sofisticado. Los capítulos introductorios podrían ser razonables para aprender AG (y algunos de los conceptos que se aplican a las formas diferenciales; algunos de los pasajes más matemáticos sobre cálculo geométrico detallan en detalle la relación entre campos multivectoriales y formas diferenciales), pero consideraría una introducción más ligera. Material para una primera lectura. Los libros de Alan MacDonald sobre GA y GC tienen un enfoque más matemático, pero también están dirigidos a estudiantes universitarios, por lo que, para una base matemática pura, creo que son un mejor comienzo. Para las aplicaciones, GA para físicos es muy sólido, toca la electrodinámica, la cuántica y la relatividad general, con un poco de dinámica de cuerpo rígido (que se simplifica enormemente utilizando rotores de GA).
Si desea obtener rápidamente una comprensión de los conceptos básicos de las formas diferenciales, incluida su relación con las conexiones, paquetes tangentes, etc., le recomiendo las primeras 4 conferencias en línea del Instituto Perimeter del curso de Física Gravitacional (13/14, R. Gregorio).
Para empezar, puede consultar el artículo "Formas diferenciales para científicos" de JB Perot, Journal of Computational Physics, 2014, vol. 257 Parte B, lo encontré útil.
kyle kanos