Un tensor (contravariante de rango 2) es un vector de vectores. Si tienes un vector, son 3 números que apuntan en cierta dirección. Lo que eso significa es que giran entre sí cuando haces una rotación de coordenadas. De modo que las 3 componentes del vector$V^i$Transformar en

$$V'^i = A^i_j V^j$$

bajo una transformación lineal de coordenadas.

Un tensor es un vector de 3 vectores que rotan entre sí bajo rotación (y también rotan como vectores --- el orden de las dos operaciones de rotación es irrelevante). Si un vector es$V^i$donde i va de 1-3 (o 1-4, o de lo que sea a lo que sea), el tensor es$T^{ij}$, donde el primer índice etiqueta el vector y el segundo índice etiqueta el componente del vector (o viceversa). Cuando rotas las coordenadas T se transforma como

$$T'^{ij} = A^i_k A^j_l T^{kl} = \sum_{kl} A^i_k A^j_l T^{kl}$$

Donde uso la convención de suma de Einstein de que se suma un índice repetido, de modo que la expresión del medio realmente signifique la suma en el extremo derecho.

Un tensor de rango 3 es un vector de tensores de rango 2, un tensor de rango cuatro es un vector de tensores de rango 3, así sucesivamente hasta el rango arbitrario. la notación es$T^{ijkl}$y así sucesivamente con tantos índices superiores como rango tenga. La ley de transformación es una A para cada índice, lo que significa que cada índice se transforma por separado como un vector.

Un vector covariante, o covector, es una función lineal de vectores a números. Esto se describe completamente por los coeficientes,$U_i$, y la función lineal es

$$U_i V^i = \sum_i U_i V^i = U_1 V^1 + U_2 V^2 + U_3 V^3$$

donde se emplea la convención de Einstein en la primera expresión, lo que significa que si el mismo nombre de índice aparece dos veces, una vez más abajo y otra más arriba, entiendes que se supone que debes sumar sobre el índice, y dices que el índice está contraído. La función lineal más general es una combinación lineal de los tres componentes con algunos coeficientes, por lo que este es el covector general.

La ley de transformación para un covector debe ser por la matriz inversa

$$U'_i = \bar{A}_i^j U_j$$

La multiplicación de matrices es simple en la convención de Einstein:

$$M^i_j N^j_k = (MN)^i_k$$

Y la definición de$\bar{A}$(la matriz inversa) hace que el producto interior$U_i V^i$permanece igual bajo una transformación de coordenadas (debe verificar esto).

Un tensor covariante de rango 2 es un covector de covectores, y así sucesivamente hasta un rango arbitrariamente alto.

También puedes hacer un tensor de rango m,n$T^{i_1 i_2 ... i_m}_{j_1j_2 ... j_n}$, con m índices superiores y n inferiores. Cada índice se transforma por separado como un vector o covector según sea hacia arriba o hacia abajo. Cualquier índice inferior puede contraerse con cualquier índice superior en un producto tensorial, ya que esta es una operación invariante. Esto significa que los tensores de rango m,n se pueden ver de muchas maneras:

• Como la función lineal más general de m covectores y n vectores en números
• Como la función lineal más general de un tensor covariante de rango m a un tensor contravariante de rango n
• Como la función lineal más general de un tensor contravariante de rango n a un tensor covariante de rango m.

Y así sucesivamente para un número de interpretaciones que crece exponencialmente con el rango. Esta es la definición preferida de los matemáticos, que no enfatiza las propiedades de transformación, sino que enfatiza los mapas lineales involucrados. Las dos definiciones son idénticas, pero estoy feliz de haber aprendido primero la definición física.

En el espacio euclidiano ordinario en coordenadas rectangulares, no es necesario distinguir entre vectores y covectores, porque las matrices de rotación tienen un inverso que es su transpuesta, lo que significa que los covectores y los vectores se transforman igual bajo rotaciones. Esto significa que solo puede tener índices ascendentes o descendentes, no importa. Puede reemplazar un índice superior con un índice inferior manteniendo los componentes sin cambios.

En una situación más general, el mapa entre vectores y covectores se llama tensor métrico$g_{ij}$. Este tensor toma un vector V y produce un covector (tradicionalmente escrito con el mismo nombre pero con un índice más bajo)

$$V_i = g_{ij} V^i$$

Y esto te permite definir una noción de longitud

$$|V|^2 = V_i V^i = g_{ij}V^i V^j$$

esta es también una noción de producto punto, que se puede extraer de la noción de longitud de la siguiente manera:

$$2 V\cdot U = |V+U|^2 - |V|^2 - |U|^2 = 2 g_{\mu\nu} V^\mu U^\nu$$

En el espacio euclidiano, el tensor métrico$g_{ij}= \delta_{ij}$que es el delta de Kronecker. Es como la matriz identidad, excepto que es un tensor, no una matriz (una matriz convierte vectores en vectores, por lo que tiene un índice superior y otro inferior; tenga en cuenta que esto significa que automáticamente convierte covectores en covectores, esto es la multiplicación de los covector por la matriz transpuesta en notación matricial, pero la notación de Einstein subsume y amplía la notación matricial, por lo que es mejor pensar en todas las operaciones matriciales como abreviaturas de algunas contracciones de índice).

El cálculo de tensores es importante porque muchas cantidades son naturalmente vectores de vectores.

• El tensor de tensión: si tienes una cantidad conservada escalar, la densidad de corriente de la carga es un vector. Si tiene una cantidad vectorial conservada (como el momento), la densidad actual del momento es un tensor, llamado tensor de tensión.
• El tensor de inercia: para el movimiento de rotación de un objeto rígido, la velocidad angular es un vector y el momento angular es un vector que es una función lineal de la velocidad angular. El mapa lineal entre ellos se llama el tensor de inercia. Solo para cuerpos altamente simétricos el tensor es proporcional a$\delta^i_j$, de modo que los dos siempre apunten en la misma dirección. Esto se omite en los cursos de mecánica elemental, porque los tensores se consideran demasiado abstractos.
• Vectores axiales: cada vector axial en una teoría que preserva la paridad se puede considerar como un tensor antisimétrico de rango 2, mediante el mapeo con el tensor$\epsilon_{ijk}$
• Representaciones de espín alto: la teoría de las representaciones de grupo es incomprensible sin tensores y es relativamente intuitiva si los usa.
• Curvatura: la curvatura de una variedad es el cambio lineal en un vector cuando lo llevas alrededor de un circuito cerrado formado por dos vectores. Es una función lineal de tres vectores que produce un vector, y es naturalmente un tensor de rango 1,3.
• tensor métrico: esto se discutió antes. Este es el ingrediente principal de la relatividad general.
• Formas diferenciales: son tensores antisimétricos de rango n, es decir, tensores que tienen la propiedad de que$A_{ij} =-A_{ji}$y lo análogo para rango superior, donde obtienes un signo menos para cada transposición.

En general, los tensores son la herramienta fundamental para las representaciones de grupos y los necesita para todos los aspectos de la física, ya que la simetría es fundamental para la física.

Ya hay muchas respuestas, espero poder dejarlo aún más claro.

Los tensores son la generalización de las transformaciones lineales.

El tensor es algo que toma$m$vectores y marcas$n$vectores de ella.

los$n+m$es el orden (o rango) del tensor.

Su tipo se denota por$(n,m)$(n: vectores de salida, m: vectores de entrada)

Cuando un tensor toma 0 vectores significa que calcula algo a partir de un escalar (o es una constante), si un tensor toma 0 vectores, produce un escalar.

Algunos ejemplos de tensores por tipo:

• (0,0): escalar, solo un número.
• (1,0): vector único.
• (2,0): un bivector
• (1,1): Transformación lineal.
• (0,2): producto escalar de dos vectores.
• (1,2): producto vectorial de dos vectores en 3D.
• (1,3): tensor de curvatura de Riemann (si está interesado en la relatividad general, necesitará esto).

Los tensores se pueden describir usando un$n+m$matriz dimensional de números. Entonces se puede acceder a los elementos del tensor usando$n+m$índices

Por ejemplo, la transformación lineal es un tensor de segundo orden.

Se puede acceder a los elementos del tensor multidimensional por índice, una matriz tiene obviamente 2 índices.

Ahora algo sobre la notación. Los elementos tensoriales suelen tener múltiples índices, algunos índices superiores y otros inferiores. Los índices inferiores van para los vectores de entrada, los índices superiores son para los vectores de salida. Nota: ¡los índices superiores no tienen nada que ver con los exponentes!

Entonces, un tensor de transformación lineal se vería así:$L_j^i$.

Haces una transformación lineal (también conocida como el cálculo de los elementos del vector resultante) como esta:

$b^i = \displaystyle\sum_j L_j^i a^j$

Así que suponga que está en 3D y multiplica una matriz de 3 × 3 con un vector de columna. En este caso, el índice superior es para las líneas y el inferior para las columnas de la matriz.$i$y$j$va desde 1 hasta la dimensión en la que se encuentra (generalmente 3).

Puedes encadenar estas transformaciones lineales así:

$c^k = \displaystyle\sum_i M_i^k \displaystyle\sum_j L_j^i a^j$

Einstein señaló que en estas fórmulas de suma, el índice debajo del signo de suma aparece exactamente dos veces. Así que se puede quitar. Así que las dos expresiones anteriores se verán así:

$b^i = L_j^i a^j$

$c^k = M_i^k L_j^i a^j$

Lo cual es muy similar a las fórmulas matriciales que usas en álgebra lineal. El índice superior mata al índice inferior durante el cálculo, mientras que los índices solitarios permanecen intactos.

Entonces puedes multiplicar las dos matrices como tensores así:

$T_j^k = M_i^k L_j^i = \displaystyle\sum_i M_i^k L_j^i$

Y finalmente un producto cruzado con tensores se vería así:

$r^k = C_{ij}^k a^i b^j$

los$C$es una matriz de números de 3×3×3 multiplicada por un vector que producirá una matriz ordinaria, que multiplicada por otro vector producirá el vector final.

Un producto escalar en el lenguaje de los tensores se vería así:

$r = D_{ij} a^i b^j = \displaystyle\sum_{i,j} D_{ij} a^i b^j$

Dónde$D_{ij}$es una matriz identidad.

Ahora el artículo wiki sobre tensores debería ser más comprensible.

Espero que esto le dé un momento aha a alguien.

En el contexto de la física, la descripción más esclarecedora que he encontrado es que un tensor es una cantidad generalizada cuyas propiedades algebraicas/analíticas no dependen del sistema de coordenadas que se utilice*

Ahora, la forma tradicional de representar una cantidad generalizada es como una combinación lineal de vectores base, o como un escalar. Por ejemplo, el impulso se puede representar por$p_x\mathbf{\hat{i}} + p_y\mathbf{\hat{j}} + p_z\mathbf{\hat{k}}$. Si cambia las coordenadas, digamos por una rotación pasiva, el componente$p_\alpha$s podría cambiar y, por supuesto, los vectores base cambiarán, pero el impulso no, precisamente porque cambian tanto los vectores base como los componentes. Puedes imaginar lo importante que es que una cantidad física tenga esta propiedad. Así, los tensores sirven como un objeto matemático natural para hacer física teórica.

Realmente, son solo una formalización matemática de casi todas las cantidades físicas que ya deberías haber estudiado . La utilidad de esta formalización salta a la vista una vez que empiezas a estudiar cosas como la Relatividad, que tiene que ver con el hecho de que las leyes físicas son independientes de una clase muy general de transformaciones de coordenadas lineales.

Este comportamiento es quizás mejor capturado por un (¿el?) teorema fundamental de Tensores, donde cualquier tensor cuyos componentes son todos$0$en un sistema de coordenadas tiene sus componentes como$0$en todos los demás, también.

Esto implica que si una ecuación que involucra tensores es cierta en un sistema de coordenadas, lo es en todos los demás.

Este teorema, hasta donde puedo decir, se deriva de uno de los muchos marcos axiomáticos para definir tensores. Algunos marcos comienzan introduciendo tensores como mapas multilineales. Muchos comienzan definiendo tensores covariantes/contravariantes como conjuntos de componentes de múltiples índices que siguen ciertas reglas de transformación.

El resultado final es, sin embargo, el mismo. Obtienes algo que se puede representar mediante un conjunto de componentes, y cuyas propiedades algebraicas/analíticas no cambian sin importar el sistema de coordenadas que utilices.

Es importante tener en cuenta que los tensores no son simplemente colecciones de componentes. De hecho, algunos tratamientos de tensores están completamente libres de componentes. Por ejemplo, el Álgebra Geométrica representa operaciones de tensor (piense en generalizar geométricas) en términos de algo llamado Producto Geométrico. Y, sin embargo, las cosas que se estudian siguen siendo tensores precisamente porque sus propiedades no dependen de "cómo las mires".

*Por sistema de coordenadas, me refiero a uno "típico" al que se puede llegar mediante transformaciones lineales invertibles.

Hay varias formas equivalentes de definir y comprender los tensores, y vale la pena comprender todas las diferentes perspectivas y las relaciones entre ellas. La perspectiva que encuentro más intuitiva y bien motivada es la perspectiva de los tensores como funciones multilineales .

Un tensor es una función multilineal que toma como entrada una colección de vectores y genera un escalar. Por multilineal se entiende que la función es lineal en cada entrada de forma independiente .

Puede imaginar funciones multilineales como aproximaciones locales a funciones no lineales que dependen de varias variables, donde la aproximación tiene en cuenta estructuralmente el hecho de que hay varias entradas de varios espacios. Al igual que cuando hace zoom en una función no lineal de un vector, parece aproximadamente lineal, si hace zoom en una función de muchos vectores, parece aproximadamente multilineal.

Si se eligen colecciones de vectores base que abarquen cada espacio vectorial de entrada, entonces una función multilineal se define completamente por su acción en todas las combinaciones posibles de vectores base. Los resultados de aplicar la función multilineal a todas las combinaciones de vectores base se pueden organizar en una matriz multidimensional de números, y esta matriz se puede considerar como una representación de la función multilineal, con respecto a las bases dadas.

Si uno cambia las bases, obviamente las entradas en la representación del arreglo multidimensional cambiarán, pero de una manera predecible. La forma exacta en que cambian las entradas de la matriz cuando cambia las bases se conoce como "reglas de transformación". En muchas clases de física, los cuadros de números que obedecen estas reglas de transformación se presentan como la definición de un tensor, que es una definición perfectamente legítima, pero puede ser discordante y desmotivada si no se explica el contexto multilineal del que provienen estas reglas.

Mantener fijas algunas de las entradas en una función multilineal (en la terminología del lenguaje de programación, "cerrar" esas entradas) produce una función multilineal en las entradas restantes. La representación de matriz de la función multilineal inducida en las entradas restantes se puede calcular realizando una cierta suma que involucre la matriz original y los vectores de coordenadas para los vectores de entrada fijos. Este proceso de formar una nueva función multilineal manteniendo fijas ciertas entradas se conoce como contracción tensorial.

Dado que fijar todas las entradas menos una en un tensor produce una función lineal en la entrada restante, y dado que las funciones lineales en un espacio vectorial pueden identificarse con elementos en el dual de ese espacio vectorial, un tensor puede verse igualmente como una función multilineal que toma uno menos que la cantidad original de vectores como entrada y produce un vector (doble) como salida. Esta salida se puede usar como una de las entradas de otro tensor que tiene un punto de entrada para un vector en el espacio dual que se emitió. De manera más general, se pueden construir redes complicadas donde varias entradas a un tensor se reinterpretan como salidas, y luego esas salidas se usan como entradas en otros tensores en la red (consulte la notación gráfica de Penrose ).

Si uno agrega un tensor diferente a cada punto en una superficie (o variedad), la colección de todos estos tensores es un campo de tensores (al igual que si uno agrega vectores a todos los puntos en una variedad, se obtiene un campo vectorial). Un caso especial común es donde los espacios vectoriales de entrada que forman el dominio del tensor en un punto son copias del espacio tangente y el espacio cotangentede la variedad en ese punto. En este caso, se pueden formar bases convenientes para usar a partir de los vectores tangentes (o cotangentes) en cada punto asociado con algunos gráficos de coordenadas preexistentes para la variedad. Si uno cambia la parametrización de la variedad, los gráficos de coordenadas cambiarán, por lo que las bases para el campo tensorial en cada punto cambiarán, por lo que las representaciones de matriz de los tensores en cada punto cambiarán (pero de una manera predecible).

Dado que los campos de tensores surgen en la física con mucha más frecuencia que los tensores individuales, a menudo se usa el término "tensor" para referirse a un campo de tensores. Esta terminología funciona porque la mayoría de los términos para operaciones en tensores también se pueden usar para campos de tensores, con el entendimiento de que la operación se realiza simultáneamente para todos los tensores en el campo, puntualmente.

Espero que esto ayude con la intuición. Esta perspectiva se forjó lentamente a través de años de lucha para comprender los tensores desde los primeros principios; pasando de estar completamente confundido al principio, a tener tensores que ahora se sienten naturales y claros. Esta publicación es lo que desearía que alguien me hubiera dicho al principio.

Los tensores son objetos con índices generalmente múltiples, una generalización de vectores y matrices, con propiedades de transformación definidas bajo un cambio de base. Se introducen de manera diferente en diferentes tradiciones, con diferentes notaciones.

Puede encontrar la entrada "¿Cómo se relacionan las matrices y los tensores?" del Capítulo B8 de mis Preguntas frecuentes sobre física teórica relevante para desentrañar algunos de los problemas asociados.

Esto es lo que dice A.Zee sobre un tensor de su libro Einstein Gravity in a Nutshell (Tapa dura)

Un tensor es algo que se transforma como un tensor.

Hace mucho tiempo, un estudiante que luego se convirtió en un distinguido físico de la materia condensada vino a verme después de una clase sobre teoría de grupos y me preguntó: "¿Qué es exactamente un tensor?" Le dije que un tensor es algo que se transforma como un tensor . Cuando me encontré con él muchos años después, me regaló la siguiente historia. En su graduación, su padre, quizás todavía dolido por la fuerte suma que había pagado a la prestigiosa universidad privada a la que asistió su hijo, le preguntó cuál fue el conocimiento más memorable que adquirió durante sus cuatro años en la universidad. Él respondió: "Un tensor es algo que se transforma como un tensor".

(Esta respuesta se publicó originalmente para una pregunta más nueva, realizada el 26 de octubre de 2018, que luego se marcó como una pregunta duplicada. Esa pregunta más nueva se refería específicamente al contexto de la dinámica rotacional. Reubiqué mi respuesta aquí para el beneficio de otros visitantes que buscan para una respuesta que sea específica para ese contexto).

En el contexto de la dinámica rotacional, un vector$v$es algo cuyos componentes$v_i$transforma bajo rotaciones como

$$v_i\mapsto\sum_j R_{ij}v_j$$ dónde$R$es una matriz de rotación. Un tensor (como el tensor de momento de inercia) es algo cuyos componentes$I_{ij}$transforma bajo rotaciones como $$I_{ij}\mapsto\sum_{k,\ell} R_{ik}R_{j\ell}I_{k\ell}.$$ Más específicamente, este es un$2$-índice tensor. Un vector es un$1$-índice tensor. En general, un$N$-índice tensor es una cantidad con$N$índices (por supuesto) que se transforma bajo rotaciones de acuerdo con el patrón ilustrado arriba, con uno$R$por índice.

Un ejemplo fácil de un tensor con$3$índices es$T_{ijk}=a_i b_j c_k$, dónde$a,b,c$son vectores. Esto se transforma automáticamente correctamente bajo rotaciones debido a la forma$a,b,c$transformar.

Los tensores suelen tener simetrías especiales. Por ejemplo, el momento de inercia tensor$I_{ij}$es simétrico:$I_{ij}=I_{ji}$.

Tales simetrías no afectan la regla general de cómo el tensor se transforma bajo rotaciones, pero pueden dar lugar a interesantes coincidencias. Por ejemplo, la generalización apropiada del momento angular a$D$-el espacio dimensional está representado por un antisimétrico$2$-tensor de índice,$L_{ij}=-L_{ji}$. Debido a la antisimetría, esto tiene$D(D-1)/2$componentes independientes, es decir, aquellos con$i<j$. (Aquellos con$j>i$están determinados por antisimetría, y aquellos con$i=j$son cero por antisimetría.) En el caso físicamente relevante$D=3$,$L_{ij}$pasa a tener$3$componentes, como un vector. Aún más interesante (y menos trivial), esos tres componentes resultan transformarse como los tres componentes de un vector bajo rotaciones, ¡aunque la regla general para transformar un tensor de dos índices implica dos matrices de rotación en lugar de solo una! Esta es la razón por la que la mayoría de las formulaciones de la dinámica rotacional representan cosas como el momento angular, la velocidad angular y el par como si fueran vectores, aunque se representarían más correctamente como tensores antisimétricos de dos índices.

En realidad, incluso en$D=3$, hay un síntoma claro de que cantidades como la velocidad angular (etc.) no son realmente vectores: se transforman como vectores cuando$R$es una rotación ordinaria, pero no cuando$R$es un reflejo Términos como "vector axial" o "pseudovector" se refieren a esta situación. La dirección de la velocidad angular no puede invertirse mediante una reflexión especular (porque un tensor de dos índices se transforma con dos factores de$R$, por lo que los signos menos se cancelan), pero la dirección de un vector legítimo (tensor de un índice) se puede invertir mediante un reflejo especular.

Un síntoma más sutil de que el momento angular debe representarse como un tensor antisimétrico de dos índices (en lugar de un vector = tensor de un índice) es la forma en que se construye. Por ejemplo, un objeto con momento$p$(un vector) en el extremo de una barra giratoria sin masa de longitud$r$(un vector) generalmente se escribe como$L=r\times p$, o algo así (el signo es una cuestión de convención). El producto cruzado solo tiene sentido en el espacio tridimensional. Realmente debería estar escrito$L_{ij}=r_i p_j-r_j p_i$en cambio. En el espacio tridimensional, tiene la misma lista de componentes independientes que el producto cruzado, pero la representación del tensor de dos índices tiene sentido en cualquier número de dimensiones.

En otros contextos, como la relatividad, la definición es análoga pero con el grupo de transformaciones de Lorentz (en relatividad especial) o todas las transformaciones de coordenadas (en relatividad general) en lugar del grupo de rotaciones.

Creo que las representaciones de grupos son la forma más natural de entender los tensores. Las siguientes partes se pueden leer esencialmente de forma independiente. La 2ª es la más relevante.

Por qué los tensores en física pueden ser confusos

Creo que la principal fuente de confusión es que$X$-Los tensores siempre, siempre, siempre incluyen una estructura que la literatura de física no se preocupa demasiado por hacer explícita. Es la ley de transformación a la que me refiero por estructura, bajo las transformaciones implícitas en$X$(esto podría ser$X\in\{\text{"Lorentz" or 4},\text{"Euclidean" or 3},\dots\}$).

La pregunta infame "¿Es mi matriz aquí un rango 2$X$-tensor?" solo puede responderse con "bueno, depende". Porque, ¿cómo vamos a probar si su matriz se está transformando como un tensor si no nos dice cómo se transforma su matriz ?

algún elemento$A$de un espacio vectorial (nótese que cualquier$X$-tensor vive en un espacio vectorial: sumando$X$-tensores hace un$X$-tensor y multiplicando por$\lambda\in\mathbb{R}$también) se puede confirmar que es un tensor solo si especifica los siguientes datos:

$$Data:=\{A \text{ how it looks in frame }1,A \text{ how it looks in frame } 2,\dots,A \text{ how it looks in last frame}\}.$$ Entonces podemos comparar con un$X$-tensor y puede decidir si así es exactamente como nuestro tensor se transforma o no. En caso afirmativo, A es por def. un$X$-tensor, en caso contrario no.

El tensor como elemento de representación de un grupo

arreglar un grupo$X$(esto podría ser$X\in\{\text{lorentz trafos},\text{rotations},\dots\}$en correspondencia directa con el primer párrafo). Recuerda que un$n$-oscuro. representacion de$X$es por def. un homomorfismo de grupo ($\text{GL}$son todas matrices invertibles)

$$\rho:X\rightarrow\text{GL}(\mathbb{R},n),\quad g\mapsto\underbrace{(T\mapsto g.T)}_{\text{matrix is a function}}\quad (T\in\mathbb{R}^n\text{ for "tensor"}).$$ Si esto es nuevo, piensa en la acción ”$g.$" de$g$como matriz. Recuerde que el homomorfismo ("estructura igual") significa solo $$\rho(g\cdot h)=\rho(g)\rho(h)\quad\text{i.e.}\quad (g\cdot h).T=g.(h.T)\;\forall T\in\mathbb{R}^n\tag{*}$$ donde en el primero$=$en el lhs es$X$'s operación de grupo y en el rhs es$\text{GL}_n$'s, que es la multiplicación de matrices. Escribiré tres oraciones equivalentes en notaciones diferentes que expliquen qué es un$X$-tensor es :

1. Es$T\in\mathbb{R}^n$en la que$g\in X$actúa como$g.T$
2. Es$T\in\mathbb{R}^n$que se transforma bajo$g\in X$como$g.T$
3. es un objeto$T$que se transforma bajo$g\in X$me gusta$T\rightarrow g.T$

Tenga en cuenta que puede encontrar muchos de estos$\rho$(para uno$X$y uno$n$), por lo que$\rho$significa un físico? Esto está oculto en alguna nomenclatura y notación, incluyendo: el rango, si el índice está arriba o abajo, diciendo espinor en lugar de tensor. Ejemplos :

1. $X=\text{SO}(3)=\text{rotations in }3\text{ dim.}$, rango 1 : Un rango$1$3-tensor$\vec{v}\in\mathbb{R}^3$es un elemento de la rep fundamental. de$\text{SO}(3)$. Esa es la repetición más fácil. como$R\in \text{SO}(3)$actúa como (leer$\equiv$como "fue definido como" y$:=$como "ahora se define como") $$\rho(R)(v)\equiv R.\vec{v}:=R\vec{v}$$ es decir, por multiplicación de matrices. (¡Vale la pena detenerse en esta definición aparentemente tautológica! ¿Se cumple (*)? Tiene que serlo). Esto es lo que la gente en la escuela llama vector , es la flecha con los 3 números "que giran entre sí,...". Todo lo que hace un vector es que gira de la manera fundamental. Todos los 3-tensores se basan en esta representación, como...
2. $X=\text{SO}(3)=\text{rotations in }3\text{ dim.}$, rango$k>1$: Un rango$k>1$3-tensor extiende este comportamiento a$k$índices donde cada índice tiene que ser multiplicado por$g=(R_{ij})$, p.ej$T$es un$k=2$3-tensor iff $$\rho(g)(T)\equiv g.T = g.(T_{ij}):=(R_{ik}R_{jl}T_{kl})\text{ (repeated indices summed from 1..3)}.$$ En este caso,$n=3^2=9$es el tenue. de la representación de 2 tensores . Si has leído hasta aquí, definitivamente deberías comprobar que la única repetición. ¡Se cumple el requisito (*) para esta acción! Tenga en cuenta que es puramente conveniente organizar$3^2$números en una matriz cuadrada. Escribiéndolo como$(T_{11},T_{23},T_{13},T_{31},..)$permanece un rango 2 3-tensor si modifica la acción de$g$respectivamente. (¿Por qué sigue siendo uno? ¡Porque (*) todavía está satisfecho!)
3. $X=\text{some Lorentz group}$: diferentes opciones de rep. tienen aplicaciones en física muy diferentes, en general súper importantes. El representante fundamental. (actuando en analogía con exp. 1 pero en este caso$n=4$) consta de 4 vectores contravariantes $(x^\mu)$con$\mu=0,..3$resumido en lo siguiente (sin signos de métrica más o menos). Otra repetición de 4d. se obtiene para un trafo de Lorentz$g=\Lambda=(\Lambda^\mu_\nu)$por $$\rho(g)(x)\equiv g.(x_\mu):=((\Lambda^{-1})_\mu^\nu x_\nu)=\Lambda^{-1T}x$$ (multiplicación de matrices en el último término) denominada representación dual que contiene todos los 4 vectores covariantes . Algunos comentarios sobre esto:

• Vuelve a comprobar (*) si quieres o al menos comprueba que acaba de$\Lambda^{-1}$en lugar de transponer adicionalmente como$\Lambda^{-1T}$en el último término no proporcionaría un rep. Por el contrario, solo transponer sin invertir no da repetición. ¡o!
• La necesidad de trasponer$\Lambda$Es por eso que a veces la gente se refiere a los vectores covariantes como vectores fila . Probablemente no sea tan complejo como cree: las entradas de un vector de columna se suman con una fila de la matriz multiplicadora$\Lambda^{-1}$y las entradas de un vector fila con una columna de la matriz. Aquí$\Lambda^{-1}$se traspone y luego se multiplica por$x$por multiplicación de matrices. Asi que$x$Las entradas de se suman con cada una de$\Lambda^{-1}$las columnas de . De ahí el índice más bajo en$(x_\mu)$. El lugar del índice te dice qué rep. el autor quiere considerar!
• En$\text{SO}(3)$la doble repetición. es literalmente lo mismo que el representante fundamental. porque$\text{SO}(3)\ni R=R^{-1T}$por definición de$\text{SO}(3)$. ¡Así que no es necesario distinguir entre los índices de arriba y los de abajo! Simplemente no hay diferencia entre 3 tensores covariantes y contravariantes de cualquier rango. Mientras escribía esto, me preguntaba por qué no tomar $$R.\vec{v}:=\vec{v}^TR^T$$ ($R\in \text{SO}(3)$y multiplicación de matrices a la derecha) como el representante del "índice de abajo". Afortunadamente, esto no funciona en absoluto; intente escribir$S.(R.\vec{v})$para ver esto

4. $X=\text{some Lorentz group}$: Representante de Lorentz. la teoria es amplia ! Eche un vistazo a esta subsubsubsección de repeticiones comunes. por ejemplo.

Resultado: cada vez que aparece la palabra t, tenga en cuenta que, entre líneas, esto debe incluir dos cosas: un grupo$X$y un representante de eso$\rho$.

Permítanme ahora responder a la pregunta de OP,

¿Qué es un tensor?

Un tensor es cualquier cosa que se encuentra en alguna representación de algún grupo.

Deducir la ley de transformación a partir de la notación

En el lenguaje de la física del mundo real, casi nunca se le dará el comportamiento de transformación preciso, es decir, rep., bajo el cual se transforma una cantidad física. Pero muy a menudo se entiende. Ejemplifiquemos esto en relatividad especial:

Empezamos con el tensor de rango 1 4,$x^\mu$. Sabemos por notación que es lo que es, a saber$(t,x,y,z)$, por lo que deducimos su comportamiento de transformación bajo un impulso$\Lambda$, a saber$x^\mu\rightarrow\Lambda^\mu_\nu x^\nu$. La versión covariante como$x_\mu\rightarrow(\Lambda^{-1})^\sigma_\mu x_\sigma$. Ahora una pregunta estándar sería "¿Cómo$x^\mu x_\mu$(índices sumados 0,..3 sin signos) transforma bajo$\Lambda$?". Y desde la primera parte de mi respuesta podrías estar inclinado a decir " Tienes que decirme cómo se transforma, ¡no me engañes!".

Pero los físicos quieren decir algo muy natural cuando escriben compuestos de tensores: la conocida ley de transformación de las piezas se mantiene. Cada objeto que escriba debe tener una ley trafo definida, para definir naturalmente la trafo del compuesto como la transformación de cada componente por separado . La respuesta a la pregunta sería por lo tanto

$$x^\mu x_\mu \rightarrow (\Lambda^\mu_\nu x^\nu)\; ((\Lambda^{-1})^\sigma_\mu x_\sigma) = x^\nu \delta^\sigma_\nu x_\sigma = x^\mu x_\mu.$$ Así que combinando la repetición fundamental y dual. del grupo de Lorentz como$x^2:=x^\mu x_\mu$produce un objeto que se transforma en la representación trivial (y por lo tanto se define como un 4- escalar ).

Equivalencia suave a tensores en geometría diferencial

Seré descuidado con la diferencia de campos tensoriales y tensores. Permítanme también ser breve y solo explicar en qué parte de un rango$(p,q)$tensor$T$Según lo definido por

$$T=T^{\mu_1\dots\mu_p}_{\nu_1\dots\nu_q}\frac{\partial}{\partial x^{\mu_1}}\dots\frac{\partial}{\partial x^{\mu_p}}dx^{\nu_1}\dots dx^{\nu_q}\in TM^{\otimes p}\otimes T^*M^{\otimes q}$$ se puede leer la ley de transformación. En la descomposición anterior en coordenadas del gráfico/sistema de coordenadas especificado implícitamente$x$en un parche$U\subset M$, la transformación se lee de la definición de los campos (co)vectores$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$y$dx^{\nu}$. A$(1,0)$tensor (es decir, un vector tangente)$V$se define independientemente de un gráfico como la derivada a lo largo de una clase de curvas de equivalencia (no escribiré la definición aquí). Así que para dos gráficos diferentes$x,y$obtenemos dos conjuntos diferentes de coordenadas porque $$V^\nu \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}=V=\bar{V}^\mu\frac{\partial}{\partial y^{\mu}}$$ que es realmente una hermosa ecuación que muestra por qué la geometría diferencial es el lenguaje en el que debe formularse la relatividad general. La ingeniosa forma de definir un vector tangente como una derivada direccional a lo largo de una curva da lugar al objeto$V$¡ que está bien definido sin especificar un sistema de coordenadas ! En GR, rara vez tratamos con estos objetos abstractos, siempre elegimos un marco y escribimos las coordenadas. Pero teniendo en cuenta que hay una cosa abstracta de la que derivamos las coordenadas ya nos dice que ha cumplido las propiedades de transformación del tensor porque calculamos el comportamiento de transformación y no lo comprobamos . Lo calculamos a partir de lo anterior como $$\bar{V}^\mu=\frac{\partial y^\mu}{\partial x^{\nu}}V^\nu.$$ Análogamente, un campo covector se transforma con la transpuesta inversa, $$\omega_\nu dx^{\nu}=\omega=\bar{\omega}_\mu dy^{\mu}\quad\Rightarrow\quad\bar{\omega}_\mu=\frac{\partial x^\nu}{\partial y^{\mu}}\omega_\nu.$$ Si ponemos solo marcos de Lorentz en nuestro atlas de$M$, es decir$\exists\Lambda:\Lambda=(\frac{\partial y^\mu}{\partial x^{\nu}})\;\forall\text{ charts }x,y$después$V$radica en lo fundamental y$\omega$en la representación dual del grupo de Lorentz.

Por lo tanto, cada tensor en el sentido de la geometría diferencial de hecho se encuentra en alguna representación de algún grupo (el grupo de transformaciones de coordenadas con la representación fundamental y dual) pero, sinceramente, no estoy seguro de si lo contrario también se cumple. Por ejemplo, el representante espinor. seguramente no es realizable si$M$se toma como nuestro espacio-tiempo, pero es posible que encuentre otros$M$(como el paquete de espín) para realizar un espinor como un (co) vector tangente, pero esto está saliendo de mi área de especialización.

¡Gracias por leer esta monstruosa respuesta! :)

Un tensor es una generalización de la noción de escalares y vectores. Un tensor de rango 0 es un escalar (tiene$3^0$componente), mientras que un tensor de rango 1 es un vector (que tiene$3^1$componentes). En general, un tensor de rango$n$posee$3^n$componentes

Consulte http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf para obtener una buena introducción.

Mi respuesta muy simple es realmente solo una de las muchas situaciones en las que un tensor es útil para describir las fuerzas en un cuerpo ... sin embargo, se usan en casi todas partes en física ... este es solo un ejemplo SIMPLE.

Un cuerpo cúbico se mueve a través del aire y siente la resistencia al movimiento ortogonal a su trayectoria. Esta fuerza normal podría ocurrir en cualquier LADO del cubo. O, si el cubo se queda quieto, experimenta la presión de la atmósfera, la presión se puede descomponer en fuerzas normales en cada lado.

Ahora está la fuerza de CORTE, del aire viscoso que se adhiere a la parte superior del cubo y el arrastre deforma la parte superior del cubo. Esta fuerza cortante está en los lados paralelos al movimiento del cubo en movimiento. Esto puede ocurrir PARA CADA superficie paralela.

Los tensores son útiles cuando TODAS las posibilidades son realmente posibles y ocurren. Luego hay trucos para sumar las fuerzas. De eso se trata toda la matemática tenor de arriba.

Un gran profesor de mecánica de fluidos me dijo que los tensores solo deben usarse cuando entendemos bien las fuerzas y/o el sistema. Por lo general, cuando aprendemos algo nuevo, comenzamos con cada dimensión por separado y trabajamos tediosamente con todas las matemáticas... luego, cuando sabemos lo que está pasando, se pueden usar los tensores.

Tensor es un vector multidimensional en lenguaje coloquial.

Donde las variaciones en una dirección afectan a la otra.

En la mecánica newtoniana asumimos todas las fuerzas, velocidades, etc. que son mutuamente ortogonales$\Rightarrow$mutuamente independientes.

$$F=F_x\vec i + F_y\vec j +F_z\vec k$$

$F_x\vec i . F_y\vec j =0$ya que$\vec i . \vec j =0$Cada vez que aplicamos alguna fuerza, resolvemos en componentes y calculamos que la red hecha es cero si los componentes contribuyen a cero a lo largo de la dirección dada.

Es decir, la fuerza aplicada en una dirección no tendrá ningún efecto en una dirección perpendicular a ella.

Mientras que algunas cantidades físicas, como la presión aplicada en una dirección, también pueden producir efectos en otras direcciones. La cantidad direccional correspondiente es el tensor de tensión.

Si presionamos un globo en una dirección, podemos ver la expansión en otras direcciones que también son mutuamente perpendiculares.

Si empujamos un cubo sólido contra una pared, no se moverá hacia arriba mientras que un globo se eleva. Esta es una analogía simple que podría distinguir un vector y un tensor.

Cualquier variación en el componente x del tensor de tensión tiene sus efectos reflejados también en las direcciones yz.

$$σ = \begin{pmatrix} σ_{11} & σ_{12} & σ_{13}\\ σ_{21} & σ_{22} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33}\end{pmatrix}$$

Similar es el caso del momento de inercia.

Aquí todavía nos ocupamos de los efectos de la causa en otras direcciones de forma independiente.

En otras palabras, tratamos los efectos en las direcciones y, z de forma independiente.

Por lo tanto, el estrés y el momento de inercia son tensores de rango 2.

Es decir, a la vez podríamos conectar solo 2 dimensiones espaciales.

Levi-Civita es un tensor de rango 3 que usamos en momento angular

$$[L_i, L_j]=i\hbar \epsilon_{ijk} L_k$$

Aquí el orden de los tres i,j,k decide el valor/signo de la función$\epsilon_{ijk}$.

En electrodinámica y mecánica relativista también podemos encontrarnos con tensores de rango 4.

Vieja pregunta, que ofrece una nueva perspectiva. La siguiente descripción presenta un aspecto de los tensores que puede ayudar a comprenderlos intuitivamente. Para una definición formal y otras explicaciones, mire otras respuestas.

Los tensores en física y matemáticas tienen dos interpretaciones diferentes pero relacionadas: como entidades físicas y como mapeo de transformación.

Desde el punto de vista de una entidad física, un tensor puede interpretarse como algo que reúne diferentes componentes de la misma entidad sin sumarlos en un sentido de suma escalar o vectorial . P.ej

1. Si tengo 2 g de calcio y 3 g de calcio juntos, inmediatamente tengo 5 g de calcio: esta es una suma escalar y podemos percibir la sustancia resultante.
2. Si me muevo a 5i m/sy 6j m/s al mismo tiempo, me muevo a (5i+6j) m/s. Esta es la suma de vectores y, una vez más, podemos dar sentido a la entidad resultante.
3. Si tengo píxeles monocromáticos incrustados en un cubo que emiten luz en diferentes ángulos, podemos definir píxeles por unidad de área ($\chi$) en el cubo como$\begin{bmatrix} \chi_x&\chi_y&\chi_z \end{bmatrix}$dónde$\chi_x$es el número de píxeles que emiten luz perpendicular al área en el plano yz, y así sucesivamente.
   esta entidad,$\chi$, tiene tres componentes, y al escribir$\chi$, estamos escribiendo los tres componentes juntos. Aparte de eso, los tres componentes no se pueden sumar como un escalar o un vector , y no podemos visualizar$\chi$como una sola entidad.

$\chi$arriba hay un ejemplo de un tensor. Aunque es posible que no podamos ver$\chi$como una sola cosa perceptible, se puede usar para buscar o comprender entidades perfectamente comprensibles, por ejemplo, para un área determinada$\vec{s}$, podemos obtener el número total de píxeles que emiten luz perpendicular a él mediante la ecuación:

$$\begin{bmatrix}\chi_x&\chi_y&\chi_z \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}s_x\\s_y\\s_z \end{bmatrix}$$

Cambie los píxeles monocromáticos en este ejemplo a los RGB, y obtenemos algo muy similar al tensor de tensión (un tensor de rango 2), y podemos obtener el vector de tracción (fuerza por unidad de área para una unidad de área dada n) por el ecuación:

$$\textbf{T}^{(\textbf{n})} = \begin{bmatrix} T_x\\T_y\\T_z \end{bmatrix}^{(n)} = \textbf{n} \cdot \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\ \sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\ \sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_{zz}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}n_x\\n_y\\n_z \end{bmatrix}$$

Aunque es difícil visualizar el tensor de estrés en su totalidad, cada uno de sus componentes nos dice algo muy discreto , por ejemplo$\sigma_{xx}$nos dice cuánta fuerza en la dirección x experimenta una unidad de superficie que es perpendicular a la dirección x (en un punto dado en un sólido). El tensor de tensión completo,$\sigma$, nos dice la fuerza total que experimentará una superficie con unidad de área orientada en cualquier dirección. Una vez que fijamos la dirección, obtenemos el vector de tracción del tensor de tensión , o, aunque no me refiero literalmente, el tensor de tensión colapsa al vector de tracción.

Tenga en cuenta que la posibilidad de interpretar los tensores como una sola entidad física o algo que tiene sentido visualmente no es cero. Por ejemplo, los vectores son tensores y podemos visualizar la mayoría de ellos (por ejemplo, velocidad, campo electromagnético).

Necesitaba mantenerlo sucinto aquí, pero se pueden encontrar más explicaciones en líneas similares aquí .