¿Cuál es la diferencia entre "símbolos de Christoffel" y "conexión afín"?

Están muy estrechamente relacionados, tanto que los símbolos de Christoffel también se denominan comúnmente "coeficientes de conexión". En un espacio curvo, comparar un vector (u otro objeto matemático, tensor, n-formas, etc.) con otro no es una tarea tan sencilla como lo es en un espacio euclidiano agradable y plano. El libro de texto Gravitation de Misner, Thorne y Wheeler realmente desarrolla los conceptos con extremo detalle para que queden claros. Básicamente, necesitas calcular algunas correcciones al diferenciar en un espacio curvo o de lo contrario obtendrás respuestas anómalas que dependen de los detalles de tu cálculo.

La conexión afín es el vínculo conceptual entre dos puntos muy cercanos donde residen los vectores que desea comparar. Los símbolos de Christoffel son los medios para corregir su diferenciación ingenua de espacio plano para tener en cuenta la curvatura del espacio en el que está haciendo sus cálculos, entre esos dos puntos. Por lo tanto, incluso podría llamar a los símbolos de Christoffel "lo mismo" que la conexión afín, en un sentido similar a llamar a un vector y sus componentes en algún sistema de coordenadas particular "lo mismo".

Permítanme elaborar un poco sobre la respuesta de Andrew y tal vez proporcionar una perspectiva un poco más matemática.

En la configuración de espacios curvos (es decir, variedades ), generalmente se consideran los vectores que se originan en un punto$p$como completamente diferente de los vectores que se originan en un punto$q$. Dicho de otra manera, a cada punto en el espacio curvo, le adjuntamos un espacio vectorial completo lleno de vectores (llamado espacio tangente en el punto). El problema es que el espacio tangente unido a un punto$p$puede no tener nada que ver con el espacio tangente adjunto a un punto diferente$q$.

Aquí es donde entra en juego la noción de una conexión afín . Como señalan Wikipedia y Andrew, una conexión afín se puede usar para "conectar" vectores que viven en diferentes puntos. Este proceso se llama transporte paralelo . Intuitivamente, esto implica deslizar un vector a lo largo de una "línea recta" ( geodésica ).

Por supuesto, dado que el espacio curvo dado puede ser realmente curvo, la "línea recta" puede no parecer una línea recta en el espacio euclidiano plano al que estamos acostumbrados. Por ejemplo, las líneas rectas en la superficie de la esfera son realmente grandes círculos , como el ecuador.

Habiendo dicho todo eso, déjame responder a tu pregunta real.

En términos generales, una conexión afín es realmente una función que ingresa campos vectoriales y genera campos vectoriales y satisface ciertas reglas (que no abordaré aquí). Un espacio dado puede tener más de una conexión afín, pero generalmente nos gusta elegir una específica llamada conexión Levi-Civita .

Ahora, hay una pieza más de terminología que se necesita aquí, y esa es la noción de marco móvil . Esencialmente, un marco móvil es una elección de base para cada espacio tangente (que a menudo se requiere que "varíe continuamente" en algún sentido).

Entonces, dada una conexión afín y una elección de marco móvil, los símbolos de Christoffel son, en cierto sentido, los componentes de la conexión afín con respecto a la base determinada por el marco. En otras palabras, la conexión afín, junto con un marco en movimiento, determina los símbolos de Christoffel. Como señala Andrew, esto es como si dado un vector, podemos determinar los componentes de ese vector con respecto a una base.

Por el contrario, dada la colección de símbolos de Christoffel, uno puede construir una conexión afín para la cual esos son los componentes con respecto a algún marco local. Nuevamente, la analogía con los vectores y las bases también funciona aquí.

Me gustaría aportar mi granito de arena.

En la antigua geometría griega, los instrumentos que permitían estudiar ciertos montajes eran la regla y el compás. La brújula nos permite medir distancias, mientras que la regla nos permite definir el paralelismo. De la misma manera necesitamos dos instrumentos para desarrollar la geometría diferencial, es decir, la conexión métrica y la (afín).

En esta analogía, la conexión de Christoffel es una regla graduada, que de alguna manera fue construida con la ayuda de la brújula.

Entonces, en resumen, la conexión de Christoffel es un caso particular de la conexión afín.