¿Los tensores definidos por las leyes de transformación son tensores en un espacio vectorial o campos de tensores?

En Física es común ver tensores definidos por propiedades de transformación que relacionan componentes del objeto en diferentes sistemas de coordenadas.

Sin embargo, hay dos formas en las que podemos pensar en un tensor: un tensor en un espacio vectorial particular (en un contexto geométrico, considerando variedades suaves, este sería un tensor simple ubicado en un punto) y un campo tensorial (en un contexto geométrico). contexto, considerando variedades suaves, este sería un tensor ubicado en cada punto).

El primer punto de vista es: tenemos un espacio vectorial$V$, en ese caso un$(r,s)$-tensor es un mapa multilineal

$$T:V\times \cdots \times V\times V^\ast \times\cdots \times V^\ast \to \mathbb{R}$$

dónde están$r$Copias de$V$y$s$Copias de$V^\ast$.

El segundo punto de vista es: tenemos una variedad suave$M$con paquete tangente$TM$y paquete cotangente$T^\ast M$. Si$\Gamma(TM)$es el espacio de secciones de$TM$y de manera similar$\Gamma(T^\ast M)$es el espacio de secciones de$T^\ast M$un campo tensorial de tipo$(r,s)$es un$C^\infty(M)$-mapa multilineal

$$T : \Gamma(TM)\times \cdots \Gamma(TM)\times \Gamma(T^\ast M)\times\cdots \times \Gamma(T^\ast M)\to C^\infty(M)$$

es decir, se necesita$r$campos vectoriales,$s$covector campos y genera una función, tal que si$f\in C^\infty(M)$tenemos

$$T(X_1,\dots, fX_i,\dots,X_r,\omega_1,\dots,\omega_s)=fT(X_1,\dots,X_r,\omega_1,\dots,\omega_s)$$

para cualquier$i$y de manera similar para el$\omega$entradas.

La pregunta aquí es: la definición tradicional de tensores de los físicos, que aparece en muchos libros de texto de física matemática, libros de texto de electrodinámica y muchos libros de texto de relatividad, basada en propiedades de transformación, define un tensor en un espacio vectorial particular o un campo tensorial.

Lo pregunto porque es común ver el abuso del lenguaje de llamar a un campo tensorial simplemente "tensor" y un campo vectorial simplemente "vector". Solo quiero saber aquí si esa definición está destinada a definir un tensor o un campo tensorial.