En matemáticas, el concepto de vector se puede hacer bastante general y abstracto con la idea de espacio vectorial. Definimos qué es un espacio vectorial y decimos que un vector es un elemento de un espacio vectorial .
Este concepto es algebraico, y lo importante es el comportamiento de las operaciones realizadas sobre elementos de tanto como sucede con grupos, anillos y campos. En ese caso, un espacio vectorial podría incluir conceptos bastante alejados de la idea geométrica de una flecha, incluidos espacios de funciones y mucho más.
Por otro lado hay un caso bastante particular de este concepto que sí está relacionado con la geometría . Esos serían los espacios tangentes a una variedad suave .
Dada una variedad suave , para cada , el espacio tangente es un espacio vectorial que comprende todas las direcciones tangentes a en . Esto implica que en realidad se define con precisión para que podamos representar sus elementos como flechas en .
Los físicos suelen definir los vectores de forma diferente, con leyes de transformación. Citando a Arfken:
El conjunto de cantidades se dice que son los componentes de un -vector dimensional si y solo si sus valores relativos a los ejes de coordenadas girados están dados por
Como antes, es el coseno del ángulo entre y .
Ahora mi pregunta aquí es: cuando se hace esta definición estándar, no se menciona nada sobre cuáles son las suposiciones hechas sobre el espacio de todos los vectores.
Ciertamente debería ser un espacio vectorial, sin embargo pregunto: cuando los físicos realizan esta definición estándar de un vector, lo que se está definiendo es un elemento de un espacio vectorial general, que podría ser simplemente cualquier cosa, o uno tiene en mente exactamente los espacios tangentes a una variedad suave?
¿Es esta definición, definir un vector en un espacio vectorial general, o está definiendo un vector que pertenece al espacio tangente a una variedad?
De hecho, existen varias interpretaciones adicionales de los vectores tangentes. Una definición equivalente de un vector tangente implica clases de equivalencia de curvas.
La interpretación adecuada depende en gran medida del contexto de un problema. Como dijo QMechanic, podemos tomar un punto de vista de álgebra lineal o verlos en términos de geometría diferencial.
En este último caso, se tiene el paquete y las secciones son mapas tal que para la proyección, . Así, un vector tangente es una sección de . Se puede ver como,
es decir, la unión de todos los espacios tangentes sobre la variedad. Un vector tangente en un punto se encuentra en que es una fibra del haz .
Esta interpretación es útil en la relatividad general, en la que la física se expresa en el lenguaje de la geometría diferencial. Por otro lado, si, por ejemplo, estuviera resolviendo un problema de mecánica clásica que involucra disparar una bala de cañón, pensaría en su vector de velocidad simplemente como algo .
OP esencialmente pregunta si los tensores en física debe entenderse
dentro de la categoría de espacios vectoriales y mapas multilineales, es decir, álgebra lineal;
o dentro de la categoría de haces vectoriales y mapas de haces, es decir, geometría diferencial?
La respuesta es: Ambos, dependiendo del contexto. En el último caso, los tensores se denominan más propiamente campos tensoriales .
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Un vector es un tensor (1,0).
Oro