Tensor de torsión: definición

La conexión (en este caso la conexión Levi-Civita)$\Gamma^\alpha{}_\beta$es de una sola forma. Podemos expresarlo como (en una base coordinada (holonómica))

$$\Gamma^\alpha{}_\beta \equiv \Gamma_\mu{}^\alpha{}_\beta\, dx^\mu \tag 1$$ por otro lado en el caso de la conexión de espín tenemos $$\omega^I{}_J \equiv \omega_\mu{}^I{}_J\, dx^\mu \tag 2$$ Hay dos tipos de índices en las ecuaciones anteriores. Llamaría a los índices que aparecen LHS de las ecuaciones solamente: $\{\alpha,\beta\}$para la ecuación (1) y $\{ I,J \}$para la ecuación (2) los índices de espacio vectorial o índices de transformación (no las palabras estándar), y llamaría al índice $\mu$en ambas ecuaciones. el índice del formulario .

Considere una ecuación escrita con solo los índices del espacio vectorial

$$\nabla {\bf e}^a = \Gamma^a{}_b {\bf e}_a \;.$$ Hay dos convenciones para escribir en término con el índice de forma

CONVENCIÓN 1

$$\nabla_c {\bf e}^a = \Gamma_c{}^a{}_b {\bf e}_a =: \Gamma^a_{\underline{c}b}{\bf e}_a\;,$$ donde el subrayado indica que es un índice de formulario.

CONVENCIÓN 2

$$\nabla_c {\bf e}^a = \Gamma^a{}_{bc} {\bf e}_a =: \Gamma^a_{b \underline{c}}{\bf e}_a\;,$$ donde el subrayado indica que es un índice de formulario. En ambos casos $c$es un índice de formulario.

Si observa qué índice es un índice de formulario, nunca se confundirá.

tu segunda ecuacion

$$T{^a_{\ \ bc}}e_a=\nabla_b e_c-\nabla_c e_b=(\Gamma^a_{\ cb}-\Gamma^a_{\ bc})e_a \tag 3$$ es obviamente usar la CONVENCIÓN 2 , podemos escribir $$T{^a_{\ \ bc}}e_a=\nabla_b e_c-\nabla_c e_b=(\Gamma^a_{\ c\underline b}-\Gamma^a_{\ b\underline c})e_a \tag 4$$ pero su tercera ecuación es la CONVENCIÓN 1 podemos escribirla como $$T^a_{\ \ bc}= \Gamma^a_{\underline b c}-\Gamma^a_{\underline c b}. \tag 5$$

$T^a_{\ \ bc}$en (4) y (5) son iguales.