Advertencia: la primera parte de esta respuesta adopta una postura muy técnica sobre el procedimiento BRST y, además, funciona con un espacio de fase de dimensión finita por conveniencia. Podría parecer bastante lejos de la comprensión de los fantasmas en la aplicación promedio de transformaciones BRST o fantasmas como herramienta.

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La concepción general de los fantasmas.

Hay muchos niveles diferentes en los que se puede discutir la aparición de fantasmas, antifantasmas y su número en la mecánica hamiltoniana restringida (que es lo mismo que las teorías de calibre en un nivel lagrangiano). Uno de ellos está parcialmente esbozado en esta respuesta mía , donde el operador BRST se exhibe como el diferencial en la cohomología del álgebra de mentira de calibre.

Veremos una forma ligeramente diferente de ver los fantasmas, a saber, "extendiendo el espacio de fase", en esta respuesta, aunque esto puede verse como una reformulación del enfoque de cohomología del álgebra de Lie en "términos de espacio de fase":

El formalismo BRST, en un nivel abstracto, busca implementar la reducción a una superficie de restricción$\Sigma$en un espacio de fase$X$no resolviendo las restricciones$G_a$, pero buscando una ampliación adecuada del espacio de fase de modo que las funciones en el espacio de fase ampliado tengan una derivación graduada$\delta$viviendo en ellos cuya homología calcula las funciones en la superficie de restricción, que son los observables invariantes de calibre. ¹

El espacio de fase ampliado se obtiene de la siguiente manera:

1. Una función en la superficie de restricción$\Sigma$viene dado por el cociente de todas las funciones espaciales de fase módulo las funciones que se desvanecen en la superficie. Cada función$f$desapareciendo en la superficie está dada por

   $$f = f^a G_a$$ donde el$f^a$son funciones espaciales de fase arbitrarias. Si se introducen tantas variables$P_a$ya que hay restricciones, y define$\delta P_a = G_a$así como$\delta z = 0$para cualquier variable de espacio de fase original, entonces la imagen de$\delta$es exactamente todas las funciones que se desvanecen en$\Sigma$. Para$\delta$para ser calificado,$P_a$tiene que ser tomado para ser de grado$1$. El grado de una función es simplemente el grado de la misma como un polinomio en el$P_a$se llama el número anti-fantasma . ²

2. El$P_a$se sienten solos y necesitan variables conjugadas. Estos vienen dados por las llamadas formas 1 longitudinales en la superficie restringida, donde un campo vectorial longitudinal en la superficie restringida es uno que es tangente a las órbitas de calibre. Sus duales son formas 1 que solo se definen en vectores longitudinales. Debería ser geométricamente intuitivo (y de hecho es cierto) que los campos vectoriales longitudinales son precisamente los campos que generan las transformaciones de calibre (nuevamente son solo otra encarnación del álgebra de Lie de calibre). Por lo tanto, hay tantas formas 1 longitudinales básicas$\eta^a$como hay restricciones, y como hay anti-fantasmas$P_a$. Ya que existe la acción natural$\eta^a(P_b) = \delta^a_b$por definición del dual, también es natural definir simplemente el corchete de Poisson en un espacio de fase ampliado con coordenadas$(x^i,p_i,\eta^a,P_a)$por

   $$[\eta^a,P_b] = \delta^a_b$$ entonces las parejas$(\eta^a,P_a)$actúan como pares adicionales de variables canónicas. La derivación se extiende a la$\eta$simplemente por$\delta(\eta^a) = 0$. A las funciones en este espacio de fase ampliado ahora se les asigna un número fantasma puro basado en su grado en el$\eta$.

Dada cualquier función en el espacio de fase ampliado, el número fantasma es simplemente el número fantasma puro menos el número antifantasma.

Lo bueno del número fantasma es que es la carga de un determinado generador: lo mide el operador ³

$$\mathcal{G} := \mathrm{i}\eta^a P_a$$ que cumple $$[f,\mathcal{G}] = \mathrm{i}\operatorname{gh}(f)f$$ para cualquier función de número fantasma definido. El número fantasma es físicamente importante porque ser un estado de fantasma número cero es, junto con la condición de ser BRST invariante, la condición necesaria y suficiente de ser un estado físico.

Sin embargo, obtener esta condición requiere ahora obtener el diferencial BRST agregando otro diferencial$\mathrm{d}$a$\delta$, y mostrando que la$\delta + \mathrm{d}$da, cuando se le agregan "pequeñas perturbaciones", el operador nilpotente requerido para el formalismo BRST. (La derivación de esto es muy técnica y, a veces, se conoce como el "teorema de la teoría de la perturbación homológica") Examinando nuevamente las acciones de$\mathrm{d},\delta$, se encuentra que las funciones invariantes de calibre son precisamente aquellas invariantes bajo el operador BRST con número fantasma cero, por lo que la teoría cuántica también debería imponer esta restricción.

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^{1 "cuya homología calcula" es lenguaje matemático por ser un operador$\delta$, donde las funciones invariantes de calibre son precisamente las funciones con$\delta(f) = 0$y donde nos identificamos$f$y$g$si hay un$h$tal que$\delta(h) = f - g$. Además, esto se vuelve un poco más complicado en el caso de restricciones reducibles.}

^{2 En el caso de restricciones irreducibles, esto ya calcula correctamente las funciones invariantes de calibre y, en principio, uno podría detenerse aquí. Sin embargo, no es satisfactorio haber añadido la$P_a$, pero no tienen variables conjugadas adecuadas para ellos en el formalismo hamiltoniano.}

^{3 Esta definición es el análogo discreto y no conforme de la expresión para$U$eso esta escrito en la pregunta.}

^{Referencia principal: "Cuantización de sistemas de calibre" por Henneaux/Teitelboim}

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El caso concreto de$bc$-CFT

Un general "$bc$-CFT", es decir, la acción fantasma proporciona una teoría de campo conforme en 2D con campos similares a fantasmas

$$\frac{1}{2\pi}\left(b(z)\bar\partial c(z) + b(z)\partial c(z)\right)$$ cuando los campos$b$y$c$tener pesos conformes$h_b$y$h_c = 1 - h_b$, respectivamente. Las funciones de espacio de fase con número fantasma cero se traducen ahora a operadores con peso conforme$1$(ya que tienen el mismo número de fantasmas y antifantasmas, y el peso se comporta de forma aditiva).

Esto muestra que los estados físicos primarios (por la correspondencia de campo de estado de las CFT 2D) en tal teoría necesariamente deben tener un peso conforme$1$. Esto es de importancia en la teoría de cuerdas, donde un$bc$-CFT con$h_b = 2$se añade naturalmente a la$X$-CFT de los campos worldsheet. Para una CFT genérica, todos los primarios posibles podrían, en principio, ser estados físicos, pero el procedimiento BRST fuerza estados de número cero fantasma, es decir, campos con peso$1$, como los únicos estados físicos permitidos.

En la teoría del campo conforme en el plano, debe definir un producto interno en el espacio de estados de su teoría. En la teoría de cuerdas bosónica, el espacio de estados, es decir, el espacio de Hilbert de la teoría$\mathcal{H}$es el espacio de la representación del álgebra de Virassoro:

$${\bf Vir} \longrightarrow \mathcal{H}$$

En la cuantización radial de CFT en el plano complejo, a cada estado en el espacio de Hilbert de la teoría, se le puede asociar un operador local en el plano complejo, la llamada correspondencia operador- estado . Se puede definir el producto interno de BPZ en este espacio de Hilbert. Lo primero es definir los estados asintóticos$|0\rangle$y$\langle0|$.

$$|0\rangle \iff \text {Identity operator}\,\,\hat{I}\,\, \text{at the origin}\,\,z=0$$ $$\langle0| \iff \text {Identity operator}\,\,\hat{I}\,\, \text{at infinity}\,\,z=\infty$$

Estos dos pueden estar relacionados por una transformación conforme.$z\longrightarrow\widetilde{z}=-\frac{1}{z}$. Se puede demostrar que bajo esta transformación conforme los modos$\hat{\alpha}_n$de un campo$\Phi$de dimensión conforme$h_{\Phi}$se transforma como:

$$\hat{\alpha}_n \iff (-1)^{h_{\Phi}+n}\hat{\alpha}_{-n}$$

Entonces bajo la transformación conforme tenemos lo siguiente:

$$\hat{\alpha}_n|0\rangle=0 \iff \langle0|\hat{\alpha}_{-n}=0 \tag{1}$$

Esto, para el álgebra de Virasoro, implica que$L_{-1}$,$L_0$y$L_1$y sus contrapartes anti-holomórficas$\overline{L}_{-1}$,$\overline{L}_0$y$\overline{L}_1$aniquilar a ambos$|0\rangle$y$\langle0|$. Pero estos modos genera el grupo${\bf SL}(2,\mathbb{C})$, el grupo de transformación conforme global en la esfera de Riemann. De este modo$|0\rangle$se conoce como${\bf SL}(2,\mathbb{C})$-vacío invariante.

Por otro lado, utilizando$(1)$se puede demostrar que$b_{-1}$,$b_0$y$b_1$también aniquilar a ambos$|0\rangle$y$\langle0|$. Relación de conmutación canónica de la$bc$-el sistema muestra que:

$$\{b_n,c_{-n}\}|0\rangle=|0\rangle\ne0$$

entonces los modos$c_{-1}$,$c_0$y$c_1$aniquilar a ninguno de los$\rvert0\rangle$y$\langle0\rvert$. El primer elemento de matriz distinto de cero para el$bc$-sistema en la esfera de Riemann es así:

$$\langle0\lvert c_{-1}c_0c_1\rvert0\rangle\ne0$$

La conjugación BPZ, es decir, la relación (1) viola el número fantasma en 3 unidades. La acción del$bc$-el sistema tiene la siguiente simetría de número fantasma:

$$\delta b=-i\epsilon b \qquad \delta c=i\epsilon c$$

La corriente correspondiente es:

$$j_z(z)=-:b_{zz}(z)c^z(z):$$

En el cual$:\cdots:$denota un orden normal.

El origen de la violación del número fantasma descrito anteriormente es geométrico.$j$es el número de fermiones actual de fermiones quirales que tienen espín entero no convencional (el$b$y$c$ambos tienen espín entero). Por lo tanto, tiene una anomalía gravitacional:

$$\partial_{\overline{z}}j_z=-\frac{1}{2}(2\lambda-1)\sqrt{g}R$$

En el cual$\lambda$es la dimensión conforme de$b$. Al integrar esto, se puede ver que la violación del número fantasma en un género$g$La superficie de Riemann (hoja mundial de la teoría de cuerdas cerradas) es$3(g-1)$. La importancia de la corriente fantasma es que determina los elementos de matriz S distintos de cero del CFT.