¿Cómo muestro la existencia de un número fantasma conservado con BRST en la teoría de cuerdas bosónicas?

usuario26143

Tengo tres preguntas sobre la simetría BRST en la teoría de cuerdas de Polchinski vol I p. 126-127, que suceden juntos

Dada una integral de trayectoria

\begin{matrix} (4.2.3) & \int [d ϕ_{i} d B_{A} d b_{A} d C^{α}] Exp (- S_{1} - S_{2} - S_{3}) \end{matrix}

$\int [ d\phi_i dB_A db_A d c^{\alpha}] \exp(-S_1-S_2-S_3) \tag{4.2.3}$ con

\begin{matrix} (4.2.4) & S_{2} = - i B_{A} F^{A} (ϕ) \end{matrix}

$S_2 =-iB_A F^A (\phi) \tag{4.2.4}$

\begin{matrix} (4.2.5) & S_{3} = b_{A} C^{α} d_{α} F^{A} (ϕ) \end{matrix}

$S_3 = b_A c^{\alpha} \delta_{\alpha} F^A(\phi) \tag{4.2.5}$

la transformación BRST

\begin{matrix} (4.2.6a) & d_{B} ϕ_{i} = - i ϵ C^{α} d_{α} ϕ_{i} \end{matrix}

$\delta_B \phi_i = -i \epsilon c^{\alpha} \delta_{\alpha} \phi_i \tag{4.2.6a}$

\begin{matrix} (4.2.6b) & d_{B} B_{A} = 0 \end{matrix}

$\delta_B B_A=0 \tag{4.2.6b}$

\begin{matrix} (4.2.6c) & d_{B} b_{A} = ϵ B_{A} \end{matrix}

$\delta_B b_A = \epsilon B_A \tag{4.2.6c}$

\begin{matrix} (4.2.6d) & d_{B} C^{α} = \frac{i}{2} ϵ F_{β γ}^{α} C^{β} C^{γ} \end{matrix}

$\delta_B c^{\alpha} = \frac{i}{2} \epsilon f^{\alpha}_{\beta \gamma} c^{\beta} c^{\gamma} \tag{4.2.6d}$

Se dice

Hay un número fantasma conservado que es $+1$ para $c^{\alpha}$ , $-1$ para $b_A$ y $\epsilon$ y 0 para todos los demás campos.

¿Cómo ver eso?

La variación de $S_2$ cancela la variación de $b_A$ en $S_3$

Podría obtener $i B_A \delta F^A$ en $\delta S_2$ y $(\delta_B b_A) c^{\alpha} \delta_{\alpha} F^A= \epsilon B_A c^{\alpha} \delta_{\alpha} F^A$ en $\delta S_3$ . Pero hay un $c^{\alpha}$ en $\delta S_3$

las variaciones de $\delta_{\alpha} F^A$ y $c^{\alpha}$ en $S_3$ Cancelar.

¿Cómo ver eso?

Respuestas (1)

Trimok

respuesta para preguntas $1$ , $2$ , y $3a$

1) mirando $2.7.22$ a $2.7.24$ (y también $2.7.18abc$ ), se define el número fantasma $N^g = \frac{-1}{2\pi i} \int_0^{2 \pi}dz :b(z)c(z):$ , y que todos los operadores $c_n$ aumenta el número de fantasmas en uno. $[N^g,c_m] = c_m$ , Entonces el campo $c(z)$ , hecho de operadores $c_m$ , aumente el número de fantasmas en una unidad. Entonces $c^\alpha$ "tiene" número fantasma +1.

Ahora, $B_A$ y $F^A$ no cambie la naturaleza de los estados fantasma, por lo que su número fantasma es cero.

El número total de fantasmas de la acción (Faddeev-Popov) $S_3$ es cero, entonces $b_A$ y $c^\alpha$ debe tener el número fantasma opuesto, entonces $b_A$ tiene numero fantasma $-1$

Finalmente, buscando por ejemplo, en la ecuación $4.2.6c$ , el número fantasma debe ser el mismo para los dos lados de la ecuación, por lo que el número fantasma de $\epsilon$ es $-1$ (puedes comprobar con las otras ecuaciones $4.2.6x$ que funciona)

2) Tenemos $S_2 =-iB_A F^A (\phi)$ . Entonces

$\delta_BS_2 = -iB_A\delta_B F^A(\Phi)= -iB_A(\partial^i F^A) \delta_B \Phi_i = -iB_A(\partial^i F^A)(-i \epsilon c^{\alpha} \delta_{\alpha} \phi_i)$

$=-\epsilon B_Ac^\alpha (\partial^i F^A)\delta_{\alpha} \phi_i = -\epsilon B_Ac^\alpha \delta_\alpha F^A$

(Tenga en cuenta que $\epsilon$ viajar con el $B_A, F^A$ )

La variación de $S_3$ debido a $b_A$ es :

$\delta_B S_3 = \delta_B (b_A) c^{\alpha} \delta_{\alpha} F^A(\phi) = \epsilon B_Ac^\alpha \delta_\alpha F^A$

Entonces la variación de $S_2$ cancela la variación de $b_A$ en $S_3$

[EDITAR]

3)a) La variación de $S_3$ relativamente a $c^\alpha$ es :

$b_A(\delta_B c^\alpha) (\delta_\alpha F^A) = b_A\frac{i}{2} \epsilon f^\alpha_{\beta\gamma}c^\beta c^\gamma(\delta_\alpha F^A) = b_A\frac{i}{2}\epsilon~ c^\beta c^\gamma [\partial_\beta, \partial_\gamma]( F^A) =b_A i\epsilon~c^\beta c^\gamma \partial_\beta \partial_\gamma( F^A)=0$

Hemos usado $4.2.1$ , y el hecho de que $c^\beta c^\gamma = - c^\gamma c^\beta$

Trimok

@user26143: He hecho una edición para la variación de

S_{3}

$S_3$ relativamente a

c^{α}

$c^\alpha$

usuario26143

En

δ_{B} S_{2} = - i B_{A} δ_{B} F^{A} (Φ) = - i B_{A} (\partial^{i} F^{A}) δ_{B} Φ_{i}

$\delta_BS_2 = -iB_A\delta_B F^A(\Phi)= -iB_A(\partial^i F^A) \delta_B \Phi_i$ , ¿es aquí una expansión de Taylor? Si es así,

ϕ_{i}

$\phi_i$ representar

ϕ^{i}

$\phi^i$ ? ¿Y se aplica la transformación (4.2.6a) a

i

$i$ -ésima potencia de

ϕ

$\phi$ ? o me equivoque?

Trimok

@ user26143: a) Es solo la regla de la cadena para derivadas parciales, no es una expansión de Taylor,

i

$i$ no es un poder. b) Sí, para cada función

F (Φ)

$F(\Phi)$ , puedes escribir

δ_{B} F (Φ) = - i ϵ c^{α} δ_{α} F (Φ)

$\delta_B F(\Phi) = - i\epsilon c^\alpha \delta_\alpha F(\Phi)$

¿Cómo muestro la existencia de un número fantasma conservado con BRST en la teoría de cuerdas bosónicas?

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