Pregunta sobre la teoría del campo conforme

La respuesta principal a la pregunta es que el generador completo

$$L_n = L^{(\mathrm{m})}_n+L^{(\mathrm{g})}_n$$

en la teoría de cuerdas bosónica es una suma de una parte de la materia con una constante de orden normal$a=1$,

$$L^{(\mathrm{m})}_n=\frac{1}{2} \eta_{\mu\nu}\sum_m:\alpha_{n-m}^{\mu}\alpha_m^{\nu}:-\hbar a\delta_n^0,$$

y una parte fantasma

$$L^{(\mathrm{g})}_m=\sum_n(m-n):b_{m+n}c_{-n}:.$$

La parte de materia y fantasma satisface las álgebras de Virosoro (orden normal desplazadas) con cargas centrales$\pm 26$,

$$[L^{(\mathrm{m})}_m,L^{(\mathrm{m})}_n]=\hbar(m-n)L^{(\mathrm{m})}_{m+n}+\hbar^2 \left(\frac{Dm(m^2-1)}{12}+2ma \right) \delta_{m+n}^0,$$

$$[L^{(\mathrm{g})}_m,L^{(\mathrm{g})}_n]=\hbar(m-n)L^{(\mathrm{g})}_{m+n}+\hbar^2 \frac{m(1-13m^2)}{6} \delta_{m+n}^0,$$ respectivamente, mientras que el generador completo $L_n$satisface un álgebra de Witt

$$[L_m,L_n]=\hbar(m-n)L_{m+n} +\hbar^2\frac{(D-26)m^3+(24a+2-D)m}{12}\delta_{m+n}^0$$ $$=\hbar(m-n)L_{m+n}$$

en la dimensión crítica$D=26$y$a=1$. Para resumir, mientras que las partes individuales de materia y fantasma, y ​​más generalmente, varios subsectores de la teoría, pueden tener anomalías cuánticas de Virasoro que no desaparecen por separado, no hay una anomalía cuántica de Virasoro neta en la construcción completa. Para volver a la pregunta, los generadores completos$L_n$actuar/tener una representación/interpretación como transformaciones conformes$\sim z^{n+1}\partial/\partial z$en la hoja del mundo. Precisamente en la dimensión crítica$D=26$, no hay anomalía Weyl/conformal.

Al principio pensé que esta pregunta era más general y que involucraba la naturaleza del álgebra de Virasoro. Como resultado, los primeros dos párrafos son debates repetitivos sobre eso. La pregunta real se aborda en el tercer párrafo.

Los campos vectoriales$T^m~=~z^{m+1}\partial z$satisfacer el álgebra de Witt o el álgebra de Virasoro sin extensión central para cada valor de índice,

$$[T^m,~T^n]~=~(n~-~m) T^{m+n}.$$ El álgebra de Virasoro puede extenderse por un centro unidimensional con el mapa $${m:Vir\oplus {\mathbb C}~\rightarrow~Vir,}$$ donde esta extensión central es el núcleo del mapa. El grupo Virasoro ampliado es entonces, $$[T^m,~T^n]~=~(n~-~m)T^{m+n}~+~c(m,~n).$$ Esto se impone ya que con el caso $m~+~n~=~0$entonces $[T^m,~T^{-m}]~=~-2mT^{2m}$y hay dos sumas infinitas con el mismo resultado, una para $m~\ge~0$y $m~\le~0$. Para dar una extensión central para un índice específico $m$este es un número c en el $\mathbb C$en el dominio del mapa anterior, y $c(m,~n)~=~c(m)\delta_{m+n}$La extensión central se puede calcular con la identidad de Jacobi $$[T^k,~[T^m,~T^n]]~+~ [T^m,~[T^n,~T^k]]~+~ [T^n,~[T^k,~T^m]]~=~0.$$ que es igual a $$(m~-~n)c(k)~+~(n~-~k)c(m)~+~(k~-~m)c(n)~=~0.$$ Llegar $c(m)$establecimos $k~=~1$y $n~=~-(m~=~1)$. esto nos da $$c(m~+~1)~=~\frac{(m~+~2)c(m)~-~(2m~+~1)c(1)}{m~-~1}.$$ Esta es una buena relación recursiva y obtenemos $c(2)~=~3c(1)~-~3c(1)$ $=~0$y la recursividad general $$c(m)~=~c(3)m^3~-~c(1)m$$

El$T^m$se expanden según los modos de cadena

$$T^m~=~\frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^\infty\alpha_{m-n}\alpha_n.$$ Forme aquí los coeficientes $c(3)$y $c(1)$puede ser determinado. El $T^0,~T^{\pm 1}$generar un cerrado $SL(2,{\mathbb R}$subálgebra. El $T^0~=~\frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^\infty\alpha_{-n}\alpha_n$aniquila el estado de vacío al igual que $L^{\pm}$. Para $m~=~2$uno puede mostrar calculando la expectativa de vacío $\langle 0|T^{-2}T^2|0\rangle$ $$c(m)~=~\frac{D}{12}(m^3~-~m)$$ con un poco de trabajo adicional, que es un poco largo, puede mostrar $D~=~26$y trabajar la cuerda bosónica.

Cualquier campo$\phi$se transforma bajo el álgebra conforme como su conmutador con un$T^m$elemento de es$iz^{m+1}\partial_z\phi$. El$SL(2,{\mathbb R})$son las simetrías de la mecánica cuántica conforme, y el álgebra de Witt o álgebra de Virasoro es entonces su generalización como el conjunto de difeomorfismos del círculo. Supongamos que una función o campo que se transforma bajo estos difeomorfismos requiere esta extensión central. Por ejemplo, el hamiltoniano es$H~=~T^0$y supongamos que el campo es$\phi(\tau)~=~\phi(0)e^{iH\tau}$, entonces

$$\delta\phi~=~\delta\phi(0)e^{iT^0\tau}~+~i\phi(0)\epsilon\sum_m[T^m,~T^0]~+~O(\tau^2).$$ Entonces es claro que la extensión central es $c(0)~=~0$. No es difícil ver que una situación similar se mantiene si el campo depende de $T^{\pm}$. Sin embargo, si el campo depende de $L^m$, para $|m|~>~1$entonces hay que tener cuidado. El $L_m$son los modos de Fourier del tensor tensión-energía en la cuerda $1~+~1$espacio-tiempo dimensional. Así que no está claro si un campo es de esta naturaleza. En este punto, estaría tentado a decir que no, salvo en el caso de la $T^0$, que es el hamiltoniano. Sin embargo, en ese caso el término central o de anomalía es cero. La única razón por la que uno debería preocuparse por el término central es si $\phi$es un elemento del difeomorfismo del círculo, o es alguna función del mismo.

El punto es que la representación adjunta puede tener un término central que se desvanece. Como ejemplo de esta situación, considere los operadores$R(L_n)$y$R(C)$en un espacio de Hilbert$H$que representan el álgebra de Virasoro$V$es decir, se sostiene

$$[R(L_n),R(L_m)]=(n-m)R(L_{m+n}) +\frac{1}{12}\delta_{m+n,0}(n^3-n)R(C).$$ $$[R(C), R(L_n)]=0.$$ Tenga en cuenta que $R(C)$es el operador en $H$que representa el generador central del álgebra de Virasoro y consideramos el caso cuando $R(C)$es simplemente el múltiplo del operador de identidad $I$: $R(C)=cI$.

La representación$R$induce naturalmente la representación "adjunta"$S$del álgebra de Virasoro$V$en el espacio$L(H)$, cuyos elementos son los operadores lineales en$H$. Esto significa que$S(L_n)$actúa sobre un operador$O$como

$$S(L_n)O\equiv [R(L_n),O], \quad S(C)O\equiv [R(C),O]=0.$$
En consecuencia $S(C)\equiv 0$y se sostiene $$[S(L_n),S(L_m)]=(n-m)S(L_{m+n})$$ . Esto significa que $S$es de hecho la representación del álgebra de De Witt.