Cuantificación BRST de cadena abierta en el nivel N=1N=1N=1

El sector de la materia y el sector fantasma se desplazan. El$L_1$y$c_1$aniquilar el$|0;k\rangle$estado. Junto con las relaciones de conmutación$\{c_n,b_m\}=\delta_{n+m}$y$\left[\alpha_n^\mu,\alpha_m^\nu\right]=n\delta_{m+n}\eta^{\mu\nu}$tienes la información suficiente para saber que los términos segundo, tercero y quinto son cero.

Si no entiende por qué, vea a continuación:

Primero, tenga en cuenta que$\left[L_0,\,L_1\right]=-L_1$. Puedes ver eso por el Álgebra de Virasoro:

$$\left[L_m,\,L_n\right]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}(m^3-m)\delta_{m+n}$$

Esto significa que si$L_0|\psi\rangle = c|\psi\rangle$, entonces$L_0\left(L_1|\psi\rangle\right)=(c-1)\left(L_1|\psi\rangle\right)$, es decir, el$L_0$disminuir el nivel del estado en uno. Ahora, en tu caso,$|\psi\rangle=|0;\,k\rangle$, un estado en el nivel N=0, entonces$L_1$debe aniquilar este estado ya que no hay$N=-1$nivel. Puede verificar esto en un método más explícito al calcular el$\alpha^{\mu}_m\,$-operadores si quieres.

Ahora, en el sector fantasma, el estado fundamental es$|\downarrow\,\rangle$, aniquilado por$c_m$,$b_m$para$m>0$, y$b_0$. En particular,$c_1|0;k\rangle=0$. Vas a usar esto más tarde.

Entonces, en la ecuación:

$$0 = \left(e_\mu c_{-1}L^{(m)}_{1}\alpha^\mu_{-1}+ \beta c_{-1}L^{(m)}_{1} b_{-1} + e_\mu c_{1}L^{(m)}_{-1} \alpha^\mu_{-1} + \beta c_{1}L^{(m)}_{-1} b_{-1} + \gamma c_{1}L^{(m)}_{-1} c_{-1}\right)|0;k\rangle$$

el segundo y tercer operadores aniquilan el$|0;k\rangle$estado. Esto es así porque el sector de la materia conmuta con el sector fantasma, por ejemplo$L_1^{(m)}$viaja con el$bc$-fantasmas. Además,$c_1$y$c_{-1}$anti-conmutación, por lo que$c_1c_{-1}|0;k\rangle=-c_{-1}c_{1}|0;k\rangle=0$, y el quinto término aniquilar también el estado.

Ahora la ecuación se reduce a:

$$0 = \left(e_\mu c_{-1}L^{(m)}_{1}\alpha^\mu_{-1} + \beta c_{1}L^{(m)}_{-1} b_{-1} \right)|0;k\rangle$$

Usando$L_{\pm1}=(2\alpha')^{1/2}p\cdot\alpha_{\pm1}+\,...$y hemos terminado. El$...$son operadores que aniquilan$|0,k\rangle$y viaja con$\alpha_{\pm 1}$.

$$0 = (2\alpha')^{1/2}\left(e_\mu c_{-1}(p\cdot\alpha_{+1})\alpha^\mu_{-1} + \beta c_{1}(p\cdot\alpha_{-1}) b_{-1} \right)|0;k\rangle$$

utilizando las relaciones de conmutación$[\alpha_{+1}^\mu,\,\alpha_{-1}^\nu]=\eta^{\mu\nu}$y$\{b_{-1},c_1\}=1$:

$$0 = (2\alpha')^{1/2}\left(c_{-1}(p\cdot e) + \beta (p\cdot\alpha_{-1})\right)|0;k\rangle$$

Precisamente la ecuación de Polchinski eq (4.3.27).