Cuantificación BRST de la cuerda bosónica: nilpotencia de la transformación BRST (Polchinski)

Question

Cuantificación BRST de la cuerda bosónica: nilpotencia de la transformación BRST (Polchinski)

brst
fantasmas
Física
teoria de las cuerdas
Grassmann-números
cálculo variacional

gwouner

Actualmente estoy estudiando teoría de cuerdas y me encontré con un montón de problemas interrelacionados en el contexto de la cuantificación BRST que no puedo resolver por mí mismo, aunque me esforcé durante algunos días.

Mi pregunta se refiere a la transformación BRST de la cuerda bosónica en la ecuación. (4.3.1) del libro de Polchinski. En el párrafo que sigue a estas transformaciones, Polchinski dice que "el lector puede comprobar la nilpotencia hasta las ecuaciones de movimiento" . Lo intenté pero no pude completar la prueba. Aquí mis cálculos:

\begin{aligned} d_{B} d_{B}^{'} X^{m} & = d_{B} [i ε^{'} (C \partial X^{m} + \bar{C} \bar{\partial} X^{m})] \\ = i ε^{'} [(d_{B} C) \partial X^{m} + C (d_{B} \partial X^{m}) + (d_{B} \bar{C}) \partial X^{m} + \bar{C} (d_{B} \bar{\partial} X^{m})] \\ = i ε^{'} [(i ε C \partial C) \partial X^{m} + C (i ε (C \partial \partial X^{m} + \bar{C} \underset{= 0}{\underset{⏟}{\bar{\partial} \partial X^{m}}})) + (i ε \bar{C} \bar{\partial} \bar{C}) \bar{\partial} X^{m} + \bar{C} (i ε (C \underset{= 0}{\underset{⏟}{\partial \bar{\partial} X^{m}}} + \bar{C} \bar{\partial} \bar{\partial} X^{m}))] \\ = - ε^{'} [ε C \partial C \partial X^{m} + C ε C \partial \partial X^{m} + ε \bar{C} \bar{\partial} \bar{C} \bar{\partial} X^{m} + \bar{C} ε \bar{C} \bar{\partial} \bar{\partial} X^{m}] \\ = - ε^{'} ε [C \partial C \partial X^{m} - \underset{= 0}{\underset{⏟}{C C}} \partial \partial X^{m} + \bar{C} \bar{\partial} \bar{C} \bar{\partial} X^{m} - \underset{= 0}{\underset{⏟}{\bar{C} \bar{C}}} \bar{\partial} \bar{\partial} X^{m}] \\ = - ε^{'} ε [C \partial C \partial X^{m} + \bar{C} \bar{\partial} \bar{C} \bar{\partial} X^{m}] \\ = ? \end{aligned}

$\begin{align} \delta_\mathrm{B}\delta_\mathrm{B}'X^\mu&=\delta_\mathrm{B}\left[\mathrm{i}\varepsilon'\left(c\partial X^\mu+\bar{c}\bar{\partial}X^\mu\right)\right]\\[2pt] &=\mathrm{i}\varepsilon'\left[(\delta_\mathrm{B}c)\partial X^\mu+c(\delta_\mathrm{B}\partial X^\mu)+(\delta_\mathrm{B}\bar{c})\partial X^\mu+\bar{c}(\delta_\mathrm{B}\bar{\partial} X^\mu)\right]\\[2pt] &=\mathrm{i}\varepsilon'\left[(\mathrm{i}\varepsilon c\partial c)\partial X^\mu+c(\mathrm{i}\varepsilon(c\partial\partial X^\mu+\bar{c}\underbrace{\bar{\partial}\partial X^\mu}_{=0}))+(\mathrm{i}\varepsilon\bar{c}\bar{\partial}\bar{c})\bar{\partial}X^\mu+\bar{c}(\mathrm{i}\varepsilon(c\underbrace{\partial\bar{\partial}X^\mu}_{=0}+\bar{c}\bar{\partial}\bar{\partial}X^\mu))\right]\\[2pt] &=-\varepsilon'\left[\varepsilon c\partial c\partial X^\mu+c\varepsilon c\partial\partial X^\mu+\varepsilon\bar{c}\bar{\partial}\bar{c}\bar{\partial}X^\mu+\bar{c}\varepsilon\bar{c}\bar{\partial}\bar{\partial}X^\mu\right]\\[2pt] &=-\varepsilon'\varepsilon \left[c\partial c\partial X^\mu-\underbrace{c c}_{=0}\partial\partial X^\mu+\bar{c}\bar{\partial}\bar{c}\bar{\partial}X^\mu-\underbrace{\bar{c}\bar{c}}_{=0}\bar{\partial}\bar{\partial}X^\mu\right]\\[2pt] &=-\varepsilon'\varepsilon \left[c\partial c\partial X^\mu+\bar{c}\bar{\partial}\bar{c}\bar{\partial}X^\mu\right]\\[2pt] &=? \end{align}$

Aquí usé la ecuación de movimiento para el campo. $X^\mu$ y explotado $c^2=0=\bar{c}^2$ . En este punto, sin embargo, no veo por qué los términos restantes deberían desaparecer.

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qmecanico · Answer 1

Sugerencia: la transformación BRST infinitesimal

\begin{matrix} (A) & d_{B} (F [X, C, \dots]) := F [X + d_{B} X, C + d_{B} C, \dots] - F [X, C, \dots] \end{matrix}

$\delta_{\mathrm{B}}\left(F[X,c,\ldots]\right)~:=~F[X+\delta_{\mathrm{B}}X,c+\delta_{\mathrm{B}}c,\ldots]-F[X,c,\ldots]\tag{A}$ actúa "debajo" de los derivados del espacio-tiempo marcados en rojo, es decir, la segunda línea de OP debe leer

\begin{aligned} d_{B} d_{B}^{'} X^{m} & \overset{(4.3.1 a)}{=} d_{B} [i ε^{'} (C \partial X^{m} + \bar{C} \bar{\partial} X^{m})] \\ \overset{(A)}{=} i ε^{'} [(C + d_{B} C) \partial (X^{m} + d_{B} X^{m}) + (\bar{C} + d_{B} \bar{C}) \bar{\partial} (X^{m} + d_{B} X^{m}) - C \partial X^{m} - \bar{C} \bar{\partial} X^{m}] \\ = i ε^{'} [(d_{B} C) \partial X^{m} + C \partial (d_{B} X^{m}) + (d_{B} \bar{C}) \bar{\partial} X^{m} + \bar{C} \bar{\partial} (d_{B} X^{m})] \\ (B) & = \dots \end{aligned}

$\begin{align} \delta_{\mathrm{B}}\delta_\mathrm{B}'X^\mu &\stackrel{(4.3.1a)}=\delta_\mathrm{B}\left[\mathrm{i}\varepsilon'\left(c\color{red}{\partial} X^\mu+\bar{c}\color{red}{\bar{\partial}}X^\mu\right)\right]\\[2pt] &~~~\stackrel{(A)}=~~~\mathrm{i}\varepsilon'\left[(c+\delta_{\mathrm{B}}c)\color{red}{\partial} (X^\mu+\delta_{\mathrm{B}}X^\mu)+(\bar{c}+\delta_{\mathrm{B}}\bar{c})\color{red}{\bar{\partial}}(X^\mu+\delta_{\mathrm{B}}X^\mu)-c\color{red}{\partial} X^\mu-\bar{c}\color{red}{\bar{\partial}}X^\mu\right]\\[2pt] &~~~=~~~\mathrm{i}\varepsilon'\left[(\delta_\mathrm{B}c)\color{red}{\partial} X^\mu +c\color{red}{\partial}(\delta_\mathrm{B}X^\mu) +(\delta_\mathrm{B}\bar{c})\color{red}{\bar{\partial}} X^\mu +\bar{c}\color{red}{\bar{\partial}}(\delta_\mathrm{B}X^\mu)\right]\\[2pt] &~~~=~~~\ldots\tag{B} \end{align}$

1. ¿Cuál es la explicación de que $\delta_\mathrm{B}$ actúa bajo los derivados del espacio-tiempo? Considerando la transformación BRST general (4.2.6a), el campo $\phi_i$ puede ser $\textbf{any}$ campo no fantasma. 2. Sin embargo, en (4.2.22a), este comportamiento de transformación muy general colapsa en la transformación de $X^\mu$ y $e$ (¡sin derivados!). ¿Por qué es este el caso?
1. Actualicé la respuesta. 2. Hay una escritura derivada. $\tau$ en ecs. (4.2.22a) y (4.2.22a) si miras en el libro de Polchinski. Se denota con un punto.

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