¿Qué es la ecuación de continuidad en QM?

Las otras respuestas son correctas, pero vale la pena decir, dada la pregunta de su título, qué nos dice realmente la ecuación de continuidad.

Una ecuación de continuidad es la expresión del equilibrio entre la tasa de cambio de la cantidad de "cosas" dentro de una región$M$por un lado y el flujo total de ese material a través del límite$\partial M$en el otro. Es la traducción a las matemáticas de la afirmación, "lo que entra, permanece dentro a menos que vuelva a salir por el límite". Por ejemplo, como un fluido: la cantidad de fluido en un volumen solo puede cambiar por el flujo total de fluido a través del límite de ese volumen. Al reducir el volumen de prueba y tomar el límite, se puede demostrar que esta noción es la misma que la ecuación en la respuesta de Nate Stemen si se toma$\rho$ser la densidad de un fluido y$\vec{j}$ser el caudal másico.

En su caso, las "cosas" son la probabilidad total por unidad de volumen de que el operador de posición produzca una medida dentro de ese volumen. El flujo de probabilidad es quizás un poco más abstracto que la tasa de flujo másico, pero el cumplimiento de una ecuación de continuidad en todo el espacio simplemente significa que la probabilidad de que la medición se realice en algún lugar es constante. Lo cual es: ¡la probabilidad de que la medida se encuentre en algún lugar de todo el espacio es la unidad! Y la ecuación de continuidad resulta de aplicar este principio a un volumen arbitrario, el límite del volumen y el complemento del volumen. La disminución de la probabilidad de medición dentro del volumen debe coincidir con el aumento de la probabilidad de medición fuera, lo que, a su vez, debe coincidir con el flujo integrado a través de la frontera.

Ahora, reflexione un poco sobre estos pensamientos y, con ellos en mente, vea si puede reproducir, a partir de su propio razonamiento, la respuesta de AlphaGo .

Entonces, la ecuación de continuidad generalmente se escribe como

dónde$\rho \equiv \rho(\mathbf{r},t) = |\psi|^2$es la densidad de probabilidad estándar y$\mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi}\left(\bar{\psi}\nabla\psi - \psi\nabla\bar{\psi}\right)$se llama corriente de probabilidad. Solo quería escribir esto para que puedas entender mejor lo que estás leyendo si buscas en línea.

Ahora en tu problema han definido$\xi \equiv |\psi|^2 + \frac{\partial}{\partial x}(\bar{\psi}\psi)$que está muy cerca de$\rho + \mathbf{j}$pero no exactamente lo mismo. Lo que quieren que hagas es mostrar$\partial_t\xi + \partial_x\xi = 0$