¿Cómo calculo la probabilidad de encontrar una partícula entre dos barreras?

Dada una función delta α d ( X + a ) y una barrera de energía potencial infinita en [ 0 , ∞ ) , calcule el estado disperso, calcule la probabilidad de reflexión en función de α , cantidad de movimiento del paquete y energía. Calcule también la probabilidad de encontrar la partícula entre las dos barreras.

Comienzo estableciendo las ecuaciones estándar para la función de onda:

ψ I = A mi i k X + B mi − i k X cuando  X < − a , ψ I I = C mi i k X + D mi − i k X cuando  − a < X < 0

El requisito de continuidad en X = − a medio

A mi − i k a + B mi i k a = C mi − i k a + D mi i k a

Entonces el requisito de discontinuidad específica de la derivada en X = − a da

i k ( − C mi − i k a + D mi i k a + A mi − i k a − B mi i k a ) = − 2 metro α ℏ 2 ( A mi − i k a + B mi i k a )

En este punto me puse A = 1 (para un paquete de una sola onda) y establecer D = 0 para calcular las probabilidades de reflexión y transmisión. Después de mucho álgebra llego a

B = γ mi − i k a − γ mi i k a − 2 i k mi i k a C = 2 mi − i k a γ mi − i k a − 2 i k mi − i k a

(dónde γ = − 2 metro α ℏ 2 ) y así reflexión prob. R = γ 2 γ 2 + 4 y transmisión prob. T = 4 γ 2 + 4 .

Aquí es donde me encuentro con el problema de calcular la probabilidad de encontrar la partícula entre las 2 barreras. Dado que la barrera en 0 es infinito, la única fuga podría estar sobre la barrera de la función delta en − a . ¿Me gustaría utilizar las condiciones anteriores pero esta vez establecido A = 1 y C = D debido a la reflexión total de la barrera en 0 y luego calcular D ∗ D ?

¡Hola, Hippie_Eater, y bienvenido a Physics Stack Exchange! Excelente pregunta :-) Espero que no le importe que hice algunas de las ecuaciones con estilo de visualización para ayudar a la legibilidad.
Gracias, eso está mucho mejor. Todavía estoy puliendo mi TeK-Fu, así que espero hacer que se vea tan sexy como este en el futuro.

Respuestas (2)

Sugerencias para la pregunta (v5):

  1. OP impone correctamente dos condiciones debido al potencial de la función delta en X = − a , pero OP también debe imponer la condición de contorno ψ ( X = 0 ) = 0 debido a la barrera de potencial infinito en X ≥ 0 .

  2. Hay cero probabilidad de transmisión debido a la barrera de potencial infinito en X ≥ 0 . (Recuerde que la transmisión implicaría que la partícula podría encontrarse en X → ∞ , lo cual es imposible.)

  3. Por lo tanto, hay un 100 por ciento de probabilidad de reflexión, cf. la unitaridad de la S -matriz. Ver también esta respuesta Phys.SE.

  4. Como escribe OP, lejos de los dos obstáculos, uno tiene simplemente una solución libre para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, es decir, una combinación lineal de los dos exponenciales oscilatorios mi ± i k X . Esta solución no es normalizable en un intervalo no compacto X ∈ ] − ∞ , 0 ] .

  5. Para que la función de onda sea normalizable, trunquemos el espacio para X < − k , dónde k > 0 es una constante muy grande. Y ahora X ∈ [ − k , 0 ] . Entonces se puede definir y calcular la probabilidad PAG ( − a ≤ X ≤ 0 ) de encontrar la partícula entre las dos barreras a través de la habitual interpretación probabilística del cuadrado de la función de onda.

  6. Si ahora dejamos que el parámetro de truncamiento k → ∞ , entonces podemos deducir sin cálculo que esta probabilidad PAG ( − a ≤ X ≤ 0 ) → 0 va a cero.

Actualicé la respuesta.

La probabilidad de encontrar una partícula en un intervalo a < X < b viene dada por la integral

∫ a b ψ ∗ ψ d X ,
asumiendo que su función de onda está correctamente normalizada.

Así que en tu caso, deberías calcular

∫ − a 0 ψ I I ∗ ψ I I d X ∫ − ∞ − a ψ I ∗ ψ I d X + ∫ − a 0 ψ I I ∗ ψ I I d X .

El numerador es la región que te interesa, el denominador se encarga de la normalización para que la probabilidad salga entre 0 y 1. Te dejo a ti calcular las integrales.

Gracias, tengo una tendencia a complicar demasiado las cosas. Pero eso plantea la pregunta, ¿qué condiciones debo usar para averiguar A , B , C , D ? Presumiblemente sería el estándar dos con respecto a la continuidad en de ψ en − a y discontinuidad de ψ ′ en − a pero creo que voy a necesitar más que eso? ¿Estoy en lo correcto al pensar que la barrera en 0 refleja completamente y por lo tanto C = D ?
Bien, entonces tienes cuatro incógnitas ( A , B , C , D ). Ya tienes dos condiciones, necesitas dos más. Como dice #Qmechanic, una de las condiciones debe ser ψ ( 0 ) = 0 . El otro se puede obtener de la normalización ( ∫ − ∞ 0 ψ ∗ ψ d X = 1 ).
Tenga en cuenta que la función de onda de dispersión ψ ( X ) no es normalizable.
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