corriente de probabilidad

Question

corriente de probabilidad

Gary

Conservación de la probabilidad: Supongamos que una función de onda tiene ${\partial \mathbb P \over \partial t} = -t f(x,t)$ y ${\partial j \over \partial x} = i f(x,t)$ . como sigue eso ${\partial \mathbb P \over \partial t} = {-\partial j \over \partial x}$ ? Gracias.

Ron Maimón

Tienes un error tipográfico en la primera ecuación, debería ser una i. Esta pregunta está mal formulada.

Respuestas (1)

corriente de probabilidad

Tienes un error tipográfico en la primera ecuación, debería ser una i. Esta pregunta está mal formulada.

CrisR · Answer 1

¿Estás buscando una prueba?

Si es así, este enlace (que tiene algunos errores de signo como se indica en los comentarios) lo demuestra de la siguiente manera (sin los errores de signo):

Empezamos por diferenciar la definición de la densidad de probabilidad con respecto al tiempo solamente:

\frac{\partial PAG (X, t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (ψ^{*} (X, t) ψ (X, t)) = [\frac{\partial ψ^{*}}{\partial t} ψ + ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial t}] (1)

$\frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\left (\psi^*(x,t) \psi(x,t)\right) = \left[ \frac{\partial\psi^*}{\partial t}\psi + \psi^*\frac{\partial\psi}{\partial t} \right] (1)$

Ahora explotamos la Ecuación de Schrödinger y su complejo conjugado:

- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}} + V (X) ψ = i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t}

$-\frac{\hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V(x)\psi = i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}$

- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2} ψ^{*}}{\partial X^{2}} + V (X) ψ^{*} = - i ℏ \frac{\partial ψ^{*}}{\partial t}

$-\frac{\hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2} + V(x)\psi^* = -i \hbar \frac{\partial \psi^*}{\partial t}$

E inyectarlos en (1):

\frac{\partial PAG (X, t)}{\partial t} = \frac{1}{i ℏ} [\frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2} ψ^{*}}{\partial X^{2}} ψ - V (X) ψ^{*} ψ - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}} ψ^{*} + V (X) ψ ψ^{*}]

$\frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = \frac 1 {i\hbar}\left[ \frac{\hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}\psi - V(x)\psi^*\psi -\frac{\hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\psi^* + V(x)\psi\psi^* \right]$ Que corresponde a:

\frac{\partial PAG (X, t)}{\partial t} = \frac{1}{i ℏ} \frac{ℏ^{2}}{2 metro} [\frac{\partial^{2} ψ^{*}}{\partial X^{2}} ψ - ψ^{*} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}}] = \frac{ℏ}{2 metro i} \frac{\partial}{\partial X} [\frac{\partial ψ^{*}}{\partial X} ψ - ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial X}] (2)

$\frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = \frac 1 {i\hbar} \frac{\hbar^2}{2m} \left[ \frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}\psi - \psi^*\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\right] = \frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{\partial\psi^*}{\partial x}\psi - \psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x} \right] (2)$

La corriente de probabilidad se define como sigue:

j (X, t) = \frac{ℏ}{2 metro i} [ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial X} - ψ \frac{\partial ψ^{*}}{\partial X}]

$j(x,t) = \frac{\hbar}{2mi} \left[\psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x} \right]$ Por lo tanto, su diferencial con respecto a la

x

$x$ eje es el siguiente:

\frac{\partial j (X, t)}{\partial X} = \frac{ℏ}{2 metro i} [ψ^{*} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}} - ψ \frac{\partial^{2} ψ^{*}}{\partial X^{2}}] = \frac{ℏ}{2 metro i} \frac{\partial}{\partial X} [ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial X} - ψ \frac{\partial ψ^{*}}{\partial X}] (3)

$\frac{\partial j(x,t)}{\partial x} = \frac{\hbar}{2mi} \left[\psi^* \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} - \psi \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2}\right] = \frac{\hbar}{2mi} \frac{\partial}{\partial x} \left[ \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x} \right ] (3)$

(2) y (3) \Leftrightarrow \frac{\partial PAG (X, t)}{d t} + \frac{\partial j (X, t)}{\partial X} = 0

$\mbox{(2) and (3)} \Leftrightarrow \frac{\partial P(x,t)}{dt} + \frac{\partial j(x,t)}{\partial x} = 0$

Tengo que refrescar mi habilidad con el látex escribiendo esto. Sin embargo, parece que no puedo entender cómo escribir la letra Psi correcta con Mathjax. En mis documentos LaTeX anteriores (de tres años), simplemente usaba \psi sin ningún paquete especial. Edite mi publicación para corregir eso, ¡gracias!
Estimado @ChrisR, ¿qué es exactamente lo que está mal con \psi? Tu respuesta parece perfecta. MathJax es solo una implementación particular de TeX y LaTeX en páginas web (que también uso en mi blog y recomiendo a otros). Si no te gusta la forma de \psi, ¿tal vez querías la \Psi mayúscula?
Estimado @LubošMotl, gracias por preguntar. En mis documentos de LaTex, la \psi minúscula se parece a esta . Es la misma letra, solo que está impresa ligeramente diferente.
También parece haber varios errores de signo menos en su respuesta (¡y en el sitio que vinculó!)
@wsc Gracias por señalarlo. Creo que los he corregido ahora, después de rehacer las matemáticas en papel.

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Gary

Ron Maimón

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CrisR

CrisR

Motl de Luboš

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wsc

CrisR

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