Probabilidad de encontrar una partícula en el lado izquierdo en el tiempo ttt

Tengo un problema de una partícula en una caja de ancho.$a$. Estoy tratando de encontrar la probabilidad de encontrar la partícula en el lado izquierdo de la caja en el momento$t$. La función de onda en$t=0$es dado por

$$|\psi(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |\phi_1\rangle + \frac{1}{2}|\phi_2\rangle + \frac{1}{2} |\phi_3\rangle,$$

dónde$\phi_n$es la función de onda en orden$n$.

Mi intento: he calculado y normalizado las funciones de onda independientes del tiempo$\phi_n$y usó el operador de evolución temporal para escribir las funciones de onda dependientes del tiempo

$$|\psi(t)\rangle=\frac{e^{i E_{1} t / \hbar}}{\sqrt{2}}\left|\phi_{1}\right\rangle+\frac{e^{-i E_{2} t / \hbar}}{2}\left|\phi_{2}\right\rangle+\frac{e^{-i E_{3} t / \hbar}}{2}\left|\phi_{3}\right\rangle,$$

con el famoso resultado

$$|\phi_n \rangle = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left( n \pi \frac{x}{a} \right).$$

Para encontrar la probabilidad he tratado de calcular

$$P(0 < x < a/2) = \left| \int_0^{a/2} \psi^*(t) \psi(t) dx \right|^2 \\ = \frac{\left(20 \sqrt{2} \cos \left( \frac{(E_2-E_1)}{\hbar} t \right) + 12 \cos \left(\frac{(E_3-E_2)}{\hbar} t \right)+15 \pi \right)^2}{900 \pi ^2}$$

Para comprobar que mi respuesta tiene sentido, primero comprobé que

$$P(0<x<a)=1.$$

Pero ahora, cuando miro las probabilidades del lado izquierdo y del lado derecho, no suman uno.

$$P(0<x<a/2) = 0.86, P(a/2<x<a) = 0.005$$

¿Qué estoy haciendo mal?