Álgebra detrás de las propiedades de la función de onda [cerrado]

Question

aescolar

En conferencia, para la función de onda de efecto túnel

ψ (X) = C_{1} aporrear (X / yo) + C_{2} pecado (X / yo)

$\psi(x) = C_1\cosh(x/l)+C_2\sinh(x/l)$

la densidad de corriente es

j = h / (2 metro i) [ψ^{*} (Δ ψ) - (Δ ψ)^{*} ψ]

$J = h/(2mi) [ \psi^*(\Delta\psi) - (\Delta\psi)^*\psi]$

Aquí está mi problema, la conferencia dice que $J$ es equivalente a:

\begin{matrix} (1) & j = (h / metro) I metro [ψ^{*} (Δ ψ)] \end{matrix}

$J=(h/m)Im[\psi^*(\Delta\psi)] \tag{1}$

y

\begin{matrix} (2) & j = h / (metro yo) I metro [C_{1}^{*} C_{2}] \end{matrix}

$J={h/(ml)}Im[C_1^*C_2] \tag{2}$

¿Cuál es el álgebra detrás de la ecuación (1) y (2)? ¿Cómo se derivaron (especialmente la ecuación (2))?

¿Qué trabajo has probado? ¿Sabes cómo manipular funciones trigonométricas hiperbólicas? Si no, ahora es un buen momento para investigarlos.

¿Qué trabajo has probado? ¿Sabes cómo manipular funciones trigonométricas hiperbólicas? Si no, ahora es un buen momento para investigarlos.

ajmeteli · Answer 1

Primero, su expresión para la corriente es incorrecta. Debería ser $\nabla$ en todas partes, no $\Delta$ (primera derivada, no segunda).

Para derivar (1), solo usas la fórmula $Im(z)=\frac{z-z^*}{2 i}$ por un complejo $z$ .

En cuanto a (2), simplemente sustituye la expresión de la función de onda en (1) y evalúa para $x=0$ .

No revisé todos los coeficientes.