Encontrar el flujo total de corriente de probabilidad a través de una esfera

Para una función de onda:

$$\Psi(\textbf{x}) = e^{ikz} + \dfrac{f(\theta)}{r}e^{ikr}$$

Dónde$z = r\cos(\theta)$.

La corriente de probabilidad$J$entonces viene dado por:

$$J(\textbf{x}) = J_1(\textbf{x}) + J_2(\textbf{x}) + J_{12}(\textbf{x})$$

Dónde$J_1$es la corriente debida al primer término (onda plana) y el segundo término es la corriente debida al segundo término (onda esférica) y el tercero se debe a la interferencia de las 2 ondas.

calculé$J_1$como esto:

$$J_1(\textbf{x}) = \dfrac{\hbar}{m}\Im((e^{ikr\cos(\theta)})^*(\nabla \cdot e^{ikr\cos(\theta)}))$$ $$J_1(\textbf{x}) = \dfrac{\hbar}{m}\Im((e^{-ikr\cos(\theta)}) (\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{\partial}{\partial \theta})e^{ikr\cos(\theta)})$$ $$J_1(\textbf{x}) = \dfrac{\hbar}{m}\Im(ik\cos(\theta) + ik\sin(\theta))$$ $$J_1(\textbf{x}) = \dfrac{\hbar k}{m}(\sin(\theta) + \cos(\theta))$$

Ahora para calcular el flujo total a través de una esfera de radio$R$:

$$\Phi = \int J_1\cdot dA$$ $$\Phi = J_1 A = J_1\pi R^2$$ $$\Phi = \dfrac{\pi\hbar kR^2}{m}(\sin(\theta) + \cos(\theta))$$

Mi pregunta es, ¿es esta la forma correcta de hacerlo y es correcta?