Probabilidad de corriente frente a la dirección de la función de onda

Hice un ejercicio para mi lección de mecánica cuántica: ℏ =2m=1. Una partícula en 1 dimensión tiene j ( X ) = 2   I metro ( ψ ¯ ( X )   ψ ′ ( X ) ) y es para demostrar que hay superposiciones ψ ( X ) = a 1 mi i k 1 X + a 2 mi i k 2 X , dónde k 1 , k 2 > 0 , de ondas que se propagan hacia la derecha en x=0 pero j(0)<0.

Puede demostrar que al calcular j(0) que conduce a una forma cuadrática semidefinida no positiva en a 1 ,   a 2 .

(Observación: esta superposición no se puede normalizar, pero el ejercicio establece que hay ondas analógicas que sí).

Tengo problemas para entender eso. ¿Cómo puede la onda (y por lo tanto la probabilidad de que la partícula esté en la posición x) propagarse hacia la derecha cuando la corriente es negativa? ¿Quizás alguien podría explicarme cómo pensar en esto?

Editar: La solución oficial del ejercicio: "Con ψ ′ = i ( k 1 a 1 mi i k 1 X + k 2 a 2 mi i k 2 X ) es:

ψ ¯ ( 0 ) ψ ′ ( 0 ) = ∑ i , j = 1 2 i   a ¯ i k j a j y

j ( 0 ) = ∑ i , j = 1 2 ( k i + k j ) a ¯ i a j

Esta forma cuadrática en a 1 , a 2 no es semidefinida positiva porque el determinante viene dado por − ( k 1 − k 2 ) 2 < 0 "

Cuando resolví el problema mencionado, obtuve la probabilidad de densidad de corriente cuya dirección está orientada a lo largo de los vectores de onda. Usé las fórmulas de Euler. Además, no olvide tomar parte imaginaria solamente.
La tarea establece explícitamente que la situación es como la describí. Además obtuve la solución de este ejercicio: Ver editar.
Acabo de reconocer que también había un error en la fórmula de j(x). Eso podría haber causado su resultado. Lo siento por eso. Acabo de corregirlo.

Respuestas (2)

A su pregunta "¿Cómo puede la onda propagarse hacia la derecha cuando la corriente es negativa?" Responderé que su afirmación de que "la onda se propaga hacia la derecha" no es exactamente correcta: lo que debe considerar aquí es la velocidad del grupo, no la velocidad de cada fase individual.

Como ambas ondas planas se propagan hacia la derecha con k 1 , k 2 > 0 , entonces asumes implícitamente ω 1 ≡ ω ( k 1 ) > 0 y ω 2 ≡ ω ( k 2 ) > 0 , pero su problema no da más información de la relación de dispersión.

Para tener una mejor idea de cuál es el flujo de densidad de probabilidad, debe considerar la velocidad de grupo aquí dada por Δ ω Δ k = ω 2 − ω 1 k 2 − k 1 , que sí podría tener cualquier signo, dependiendo de la relación de dispersión.

Me topé con esta vieja pregunta, pero creo que aún vale la pena dar una respuesta para futuras referencias.

Dominique Geoffrey tiene razón al señalar el hecho de que se necesita una relación de dispersión. Sin embargo, creo que este problema es instructivo incluso en el caso más simple de una partícula material que evoluciona libremente, es decir, con una relación de dispersión ω ( k ) = ℏ k 2 2 metro (Considero el límite no relativista, por supuesto).

En este escenario, es completamente posible tener un paquete de ondas con momentos positivos que den lugar a una corriente negativa durante algunos intervalos de tiempo. Este fenómeno contraintuitivo es bien conocido y se ha estudiado durante bastante tiempo en la mecánica cuántica (principalmente en relación con el problema de determinar la distribución del tiempo de llegada de una partícula masiva descrito por la mecánica cuántica).

En la literatura, este fenómeno se denomina "efecto de reflujo": consulte http://arxiv.org/abs/1301.4893 para obtener una introducción al tema y las referencias que contiene si está interesado.

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