¿Qué es exactamente una partícula *clásica* de espín-1/2?

Hablar de espinores de Dirac es una distracción; el campo clásico de Dirac tiene poco que ver con una sola partícula clásica, al igual que el campo clásico de Klein-Gordan no tiene mucho que ver con una sola partícula clásica sin espín.

¿Cuál es la diferencia entre un espinor$\psi_c$que describe una partícula clásica de espín 1/2 y un espinor$\psi_q$que describe una partícula cuántica de espín 1/2?

Dado que Báez está hablando de cuantización, presumiblemente su 'clásico' y 'cuántico' solo se refieren a la mecánica clásica y la mecánica cuántica como de costumbre. Es decir, un sistema clásico se describe mediante una variedad espacial de configuración y un lagrangiano, o mediante una variedad simpléctica y un hamiltoniano. Para un sistema cuántico, el espacio de estado es en cambio un espacio de Hilbert y el hamiltoniano es un operador en ese espacio.

Un giro cuántico$1/2$partícula tiene espacio de Hilbert$\mathbb{C}^2$y vive en la representación fundamental de la rotación$SU(2)$. La descripción clásica de un giro.$1/2$la partícula no es tan conocida, y algunos libros incluso afirman que es absolutamente imposible, porque el espín es un fenómeno 'inherentemente cuántico'. Sin embargo, tales declaraciones son incorrectas; El espín solo se asocia históricamente con la mecánica cuántica porque ambos se descubrieron casi al mismo tiempo. Por ejemplo, este artículo cubre el tema principalmente en el formalismo hamiltoniano, mientras que la sección 3.3 de Altland y Simons alcanza el espinor clásico mediante la construcción de una integral de trayectoria para un espín.$1/2$partícula y tomando el límite clásico.

(Poco después de que se publicó esta respuesta, se publicó la respuesta más perspicaz de knzhou . Consulte la respuesta de knzhou para obtener aclaraciones sobre lo que John Baez quiso decir).

En el contexto de la teoría cuántica, la palabra "clásico" se usa con al menos tres significados relacionados pero diferentes:

• Primer significado: un modelo puede llamarse "clásico" si todos sus observables conmutan entre sí y es una buena aproximación a un modelo cuántico dado bajo un conjunto específico de condiciones. Ejemplo: "Electrodinámica clásica".

• Segundo significado: un modelo puede llamarse "clásico" si todos sus observables conmutan entre sí, sea o no una buena aproximación a cualquier modelo cuántico útil. Ejemplos: "teoría clásica de Yang-Mills" y "cuantización canónica de un modelo clásico".

• Tercer significado: un campo (u otra variable dinámica) puede llamarse "clásico" si se usa para construir los observables en un modelo clásico (segundo significado). Ejemplo: las "variables" de integración en el funcional generador de QED son campos "clásicos".

Por ejemplo, dada la acción

$$S\sim \int d^4x\ \overline\psi (i\gamma\partial-e\gamma A)\psi, \tag{1}$$ la ecuación de Euler-Lagrange asociada con$\psi$es la ecuación de Dirac. Este es un modelo clásico (segundo significado) que involucra un campo clásico (tercer significado). Esto suena oximorónico, porque la ecuación de Dirac a menudo se trata como una ecuación similar a la de Schrödinger en la que$\psi$es la función de onda, pero también se puede tratar como la ecuación de movimiento de Heisenberg para un operador de campo$\psi$, y este es el sentido en el que el modelo definido por (1) es "clásico".

El ejemplo 1 en el OP muestra el funcional generador para QED, que tiene la forma

$$\int [d(\text{fields})] \ \exp(iS[\text{fields}] ).$$ La acción$S$en el integrando puede considerarse en cambio como la acción de un modelo clásico (segundo significado) que involucra campos de fermiones clásicos (tercer significado). Todos los observables del modelo implican productos de un número par de estos campos, por lo que los observables se conmutan mutuamente. Para que esto funcione, los campos de fermiones deben conmutar entre sí siempre , no solo cuando están separados en forma espacial, al igual que los observables en un modelo clásico deben conmutar entre sí siempre , no solo cuando están separados en forma espacial.

El ejemplo 2 en el OP ilustra otro giro. En este caso, los espinores podrían no ser funciones de espacio o tiempo en absoluto; no son campos espinores (o variables dinámicas de ningún tipo). Son solo espinores . Esto es suficiente para introducir cosas como la relación entre espinores y el álgebra de Clifford y cosas como las reglas para descomponer representaciones reducibles.

Por cierto, cuando la gente habla de espinores clásicos o de campos de espinores clásicos, puede ser que estén conmutando o en contra del desplazamiento. Estos no son equivalentes, pero la palabra "clásico" se usa en ambos casos. Este es uno de esos detalles que deben verificarse desde el contexto cada vez que se lee sobre "espinores clásicos", como cuando se lee sobre cosas como identidades que involucran productos de múltiples campos de espinores.

En esta pregunta (que fue una de las 1755 preguntas y respuestas que obtuve después de escribir "giro clásico" en "Buscar en física" y presionar "enter") se puede leer:

Dado un modelo de espín clásico,

$$H=\mathbf{S}_1\cdot \mathbf{S}_2\tag{1}$$ dónde$\mathbf{S}_i=(\sin\theta_i \cos\phi_i,\sin\theta_i \sin\phi_i,\cos\theta_i), i=1,2$es el giro clásico.

$H$es el hamiltoniano clásico.

En la conversación de Twitter Báez escribe:

El espacio de fase de la partícula clásica de espín-j es la esfera con un área igual a 4 pi j. La forma 2 que describe el elemento de área convierte este espacio en una variedad simpléctica.

knzhou escribió en su respuesta:

Es decir, un sistema clásico se describe mediante una variedad espacial de configuración y un lagrangiano, o mediante una variedad simpléctica y un hamiltoniano.

Entonces, debido a que tenemos un hamiltoniano clásico (en lugar de un operador hamiltoniano) y una variedad simpléctica, Baez está escribiendo sobre un giro puramente clásico, del cual también escribe:

Por alguna razón, debe estudiar la cuantización geométrica para aprender sobre la partícula clásica de espín-j, cuya cuantización da la partícula cuántica de espín-j más familiar. No sé por qué esto no se discute más ampliamente.

Entonces resulta (ya sea en el contexto de la cuantización geométrica o no) que, contrariamente a lo que se enseña en muchas aulas polvorientas (knzhou describe muy bien el por qué), el espín clásico$j$la partícula existe y el espín no es inherente a la mecánica cuántica. Báez tiene mucha razón si escribe que no entiende por qué esto no se conoce más ampliamente y uno tiene que estudiar la cuantización geométrica para cumplir con estos espín clásicos.$j$partículas

Dispárame en llamas si esto está completamente fuera de lugar (he escaneado brevemente el material de Baez), pero la mención del giro clásico vs cuántico me recuerda:

• el trabajo de Levy LeBlond y la discusión de si el espín es un SR en oposición al efecto relativista galileano

• y más recientemente incluso un efecto clásico (no cuántico) .

• También existe el hilo SE anterior ¿ Dependencia del giro en la física clásica frente a la no clásica?