¿Por qué el spin clásico es la representación spin-∞∞\infty de SO(3)SO(3)SO(3), no la representación spin-111 de SO(3)SO(3)SO(3)?

Question

¿Por qué el spin clásico es la representación spin-∞∞\infty de SO(3)SO(3)SO(3), no la representación spin-111 de SO(3)SO(3)SO(3)?

arcearce

Dado un modelo de espín clásico,

\begin{matrix} (1) & H = S_{1} \cdot S_{2} \end{matrix}

$H=\mathbf{S}_1\cdot \mathbf{S}_2\tag{1}$ dónde

S_{i} = (\sin θ_{i} \cos ϕ_{i}, \sin θ_{i} \sin ϕ_{i}, \cos θ_{i}), i = 1, 2

$\mathbf{S}_i=(\sin\theta_i \cos\phi_i,\sin\theta_i \sin\phi_i,\cos\theta_i), i=1,2$ es el giro clásico.

Dado un espín cuántico $s$ modelo,

\begin{matrix} (2) & \hat{H} = {\hat{S}}_{1} \cdot {\hat{S}}_{2} \end{matrix}

$\hat{H}=\hat{\mathbf{S}}_1\cdot \hat{\mathbf{S}}_2\tag{2}$

Hay un dicho que dice que el espín clásico es equivalente al espín. $\infty$ representacion de $SO(3)$ , porque en spin- $s$ reps. Solo hay $2s+1$ discreto $z$ -estados propios de dirección, y el espín clásico tiene dirección continua.

Mis preguntas son las siguientes:

Aunque el argumento parece razonable, el giro clásico es un $3$ vector componente $(\sin\theta_i \cos\phi_i,\sin\theta_i \sin\phi_i,\cos\theta_i)$ y por lo que yo sé, debe ser un spin- $1$ (definiendo) la representación de $\rm SO(3)$ . Cómo explicar rigurosamente el espín clásico debe ser espín. $\infty$ reps.

ZeroTheHero

¿Qué es exactamente el giro?

\infty

$\infty$ representante y cómo lo defines? En particular, usando contracciones de grupo (ver en.wikipedia.org/wiki/Group_contraction ) uno puede mostrar que, para representaciones grandes,

s o (3)

$so(3)$ va a

e (2)

$e(2)$ o

h w (1)

$hw(1)$ por lo tanto, la noción de límite de representación grande debe definirse con mucho cuidado. También (pero de manera diferente) en el límite del parámetro semiclásico

1 / j \to 0

$1/j \to 0$ el corchete de Moyal va al corchete de Poisson (sobre la esfera).

Respuestas (2)

¿Por qué el spin clásico es la representación spin-∞∞\infty de SO(3)SO(3)SO(3), no la representación spin-111 de SO(3)SO(3)SO(3)?

¿Qué es exactamente el giro? $\infty$ representante y cómo lo defines? En particular, usando contracciones de grupo (ver en.wikipedia.org/wiki/Group_contraction ) uno puede mostrar que, para representaciones grandes, $so(3)$ va a $e(2)$ o $hw(1)$ por lo tanto, la noción de límite de representación grande debe definirse con mucho cuidado. También (pero de manera diferente) en el límite del parámetro semiclásico $1/j \to 0$ el corchete de Moyal va al corchete de Poisson (sobre la esfera).

qmecanico · Answer 1

El cuadrado clásico del momento angular $S^2$ debe ser una variable continua, e identificada con el Casimir cuadrático
$ρ (\hat{S})^{2} = ℏ^{2} s (s + 1) 1,$ $\rho(\hat{S})^2~=~\hbar^2 s(s+1){\bf 1},$ en el $s$ -representación $ρ : s tu (2) \to gramo yo (2 s + 1, C), s \in \frac{1}{2} {norte}_{0},$ $\rho: su(2)~\to~ gl(2s+1,\mathbb{C}), \qquad s~\in~\frac{1}{2}\mathbb{N}_0,$ del cuanto $su(2)$ álgebra de mentira.
Aparentemente, esto solo es posible en el límite de doble escala $s \to \infty$ y $\hbar\to 0^+$ tal que el producto $\hbar s$ se mantiene finito.
Para un principio de correspondencia más refinado entre la mecánica clásica y la cuántica, consulte la corrección de Langer , cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

David Bar Moshé · Answer 2

Hay muchos trabajos rigurosos que muestran este límite semiclásico. Sin embargo, te mostraré un método intuitivo y cualitativo para ver este límite. Considere la matriz:

\frac{S_{z}}{\sqrt{s (s + 1)}}

$\frac{S_z}{\sqrt{s (s+1)}}$ Dónde

S_{z}

$S_z$ es la proyección de espín sobre el

z

$z$ eje. Los valores propios de esta matriz dan las alturas normalizadas de los círculos pequeños de los estados de espín permitidos. Por supuesto en la representación

s

$s$ ,

S_{z}

$S_z$ tiene la forma:

S_{z} = d i a gramo (- s, - s + 1, ., ., ., ., s - 1, s)

$S_z = \mathrm{diag}(-s, -s+1, ., ., ., ., s-1, s)$ por ejemplo para

s = 2

$s=2$ , las alturas normalizadas permitidas son:

\frac{1}{\sqrt{6}} (- 2, - 1, 0, 1, 2)

$\frac{1}{\sqrt{6}}(-2, -1, 0, 1, 2)$ .

Cuando la representación de espín sea cada vez más grande, los espines normalizados permitidos serán cada vez más densos en el $z$ eje, hasta que alcanzan un continuo como $s \rightarrow \infty$ . Podemos identificar esta matriz en el límite con la $z$ coordenada en la esfera.

Podemos hacer lo mismo con $S_x$ y $S_y$ , y obtener el $x$ y $y$ coordenadas Uno puede verificar fácilmente que debido a la normalización, la identidad:

S_{X}^{2} + S_{y}^{2} + S_{z}^{2} = 1

$S_x^2 + S_y^2 + S_z^2 = 1$ se satisface durante todo el proceso de limitación.

Cualquier función de las coordenadas se puede construir a partir de estas matrices de dimensión infinita (digamos $x^2+y+z$ ).

Lo que necesita un poco más de trabajo para mostrar, pero es absolutamente correcto, es que el conmutador de dos funciones expresadas como matrices de dimensión infinita es exactamente el corchete de Poisson entre las funciones clásicas correspondientes en la esfera, donde la estructura simpléctica es la forma del área de la esfera. .

Así, podemos ver que esta construcción resultó en el álgebra de Poisson de la esfera expresada como matrices de dimensión infinita.

Un ejemplo especial para ver la correspondencia entre las matrices de dimensión infinita y las funciones en la esfera es calcular la varianza de la función de altura usando ambas representaciones:

En la representación de dimensión infinita:

⟨ z^{2} ⟩ = \underset{s \to \infty}{límite} \frac{1}{s (s + 1)} \frac{2 \sum_{0}^{s} i^{2}}{2 s + 1} = \underset{s \to \infty}{límite} \frac{2 s (s + 1) (2 s + 1)}{6 s (s + 1) (2 s + 1)} = \frac{1}{3}

$\langle z^2 \rangle = \lim_{s \to \infty} \frac{1}{s(s+1)}\frac{2 \sum_0^s i^2}{2s+1}= \lim_{s \to \infty}\frac{2s(s+1)(2s+1)}{ 6s(s+1)(2s+1)} = \frac{1}{3}$ En la representación continua

⟨ z^{2} ⟩ = \frac{\int z^{2} d V_{S^{2}}}{V_{S^{2}}} = \frac{2 π \int_{- 1}^{1} {porque}^{2} θ pecado θ d θ}{4 π} = \frac{1}{3}

$\langle z^2 \rangle = \frac{\int z^2 dV_{S^2}}{ V_{S^2}} = \frac{2 \pi \int_{-1}^{1} \cos^2\theta \sin\theta d\theta }{ 4 \pi} = \frac{1}{3}$

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arcearce

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