Número de componentes de un espinor

Hay una serie de imprecisiones matemáticas en su pregunta y su respuesta. Un consejo: estarás menos confundido si tienes más cuidado para evitar el lenguaje descuidado.

Primero, el término espinor se refiere a la representación fundamental de$SU(2)$o una de las varias representaciones de spinor del grupo de Lorentz. Esto es un abuso de lenguaje, pero no uno malo.

Un punto particularmente quisquilloso: lo que ha descrito en su primer párrafo es un campo espinor, es decir, una función en el espacio de Minkowski que toma valores en el espacio vectorial de espinores.

Ahora a su pregunta principal, con máxima pedantería: Deje$L$denota el componente conexo de la identidad del grupo de Lorentz$SO(3,1)$, también conocido como el subgrupo ortocrónico adecuado. Representaciones proyectivas de$L$son representaciones de su cubierta universal, el grupo de espín$Spin(3,1)$. Este grupo tiene dos representaciones irreducibles diferentes en espacios vectoriales complejos de dimensión 2, conocidas convencionalmente como representaciones de Weyl de mano izquierda y mano derecha. Esto se entiende mejor como consecuencia de alguna maquinaria general de la teoría de la representación.

Los irreps de dimensión finita de$Spin(3,1)$en espacios vectoriales complejos están en correspondencia uno a uno con el complejo fd irreps de la complejización$\mathfrak{l}_{\mathbb{C}} = \mathfrak{spin}(3,1) \otimes \mathbb{C}$del álgebra de mentira$\mathfrak{spin}(3,1)$de$Spin(3,1)$. Este álgebra de mentira$\mathfrak{l}_{\mathbb{C}}$es isomorfo a la complejización$\mathfrak{k} \otimes \mathbb{C}$del álgebra de mentira$\mathfrak{k} = \mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(2)$. Aquí$\mathfrak{su}(2)$es el álgebra de mentira del grupo real$SU(2)$; es un espacio vectorial real con un corchete.

Estoy siendo un poco quisquilloso con el hecho de que$\mathfrak{su}(2)$es un espacio vectorial real, porque quiero hacer el siguiente punto: si alguien te da generadores$J_i$($i=1,2,3$) para una representación de$\mathfrak{su}(2)$, puede construir una representación del grupo compacto$SU(2)$tomando combinaciones lineales reales y exponenciando. Pero si te dan dos juegos de generadores$A_i$y$B_i$, entonces tomando ciertas combinaciones lineales con coeficientes complejos y exponenciando, obtienes una representación de$Spin(3,1)$, también conocido como una representación proyectiva de$L$. Si la memoria no me falla, los 6 generadores son$A_i + B_i$(rotaciones) y$-i(A_i - B_i)$(impulsos). Ver Weinberg Volumen I, Capítulo 5.6 para más detalles.

El resultado de todo esto es que las irreps proyectivas complejas de$L$están etiquetados por pares de medios enteros$(a,b) \in \frac{1}{2}\mathbb{Z} \times \frac{1}{2}\mathbb{Z}$. La dimensión compleja de la representación etiquetada por$a$,$b$es$(2a + 1)(2b+1)$.

La representación de Weyl para zurdos es$(1/2,0)$. La representación de Weyl diestra es$(0,1/2)$. La representación de Dirac es$(1/2,0)\oplus(0,1/2)$. La representación vectorial definitoria de$L$es$(1/2,1/2)$.

La representación de Dirac está sobre un espacio vectorial complejo, pero tiene una subrepresentación que es real, la representación de Majorana. La representación de Majorana es una verdadera irrep, pero en 4d no es una subrepresentación de ninguna de las representaciones de Weyl.

Toda esta historia se generaliza maravillosamente a dimensiones superiores e inferiores. Ver Apéndice B del Vol 2 de Polchinski.

Averiguar cómo extender estas representaciones al grupo de Lorentz completo (agregando paridad e inversión de tiempo) se deja como un ejercicio para el lector. Sin embargo, una advertencia: la inversión de la paridad intercambiará las representaciones de Weyl.

Perdón por la larga diatriba, pero me molesta cuando la gente usa notación que implica que algunos espacios vectoriales son esferas. (Si te sirve de consuelo, conozco matemáticos que se emocionan mucho con la diferencia entre una representación$\rho : G \to Aut(V)$y el "módulo"$V$sobre el que actúa el grupo.)

De acuerdo, lo he pensado y aquí hay un intento de respuesta. ¿La gente está de acuerdo en que mi razonamiento es correcto?

Necesito considerar a todo el grupo de Lorentz.$L$, que tiene cobertura universal$SU(2)\times SU(2)$. Entonces una representación espinora de$L$es la representación fundamental de$SU(2) \times SU(2)$. El espacio$\mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}^2$sobre el que actúa esta representación es el espacio espinor del que hablamos en QFT.