Una pregunta sobre la ley de transformación de la conexión de espín.

La derivada covariante se puede definir como:

$$\nabla_{a}=e_{a}^{~\mu}(x)\partial_{\mu}+\frac{1}{2}e_{a}^{~\mu}(x)\omega_{\mu bc}(x)M^{bc}\tag{1}$$

dónde$e_{a}^{~\mu}(x)$es el vielbein,$\omega_{\mu bc}(x)=-\omega_{\mu cb}(x)$es la conexión de espín,$M_{bc}=-M_{cb}$son los generadores de Lorentz (en una representación arbitraria), los índices latinos son índices de Lorentz (planos) y los índices griegos son índices mundiales (curvos).

Para que la derivada covariante de los campos tensoriales de Lorentz se transforme covariantemente, requerimos que la conexión de espín se transforme de manera no homogénea (y, por lo tanto, no covariante). Para ser concreto, consideraré la derivada covariante de (los componentes de) una forma única de Lorentz,$V_a(x)$. Si, bajo una transformación general de coordenadas (GCT) y una transformación local de Lorentz (LLT), queremos que lo siguiente sea cierto,

$$\nabla'_aV'_{b}(x')=\Lambda_{a}^{~c}\Lambda_{b}^{~d}\nabla_cV_{d}(x),\tag{2}$$ es decir, si se trata de transformar covariantemente, entonces requerimos que la conexión de espín se transforme como $$\omega'_{\mu ab}(x')=\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}}\Lambda_{a}^{~c}\Lambda_{b}^{~d}\omega_{\nu cd}(x)+\Lambda^{c}_{~~a}\partial'_\mu\Lambda_{bc}.\tag{3}$$ Acabo de terminar de derivar el origen del término no homogéneo en (3) pero tuve que basarme en dos cosas que no puedo justificar.

Primero , tuve que asumir que los generadores de Lorentz son invariantes bajo un LLT, es decir, supuse que

$$M'_{ab}=\Lambda_a^{~c}\Lambda_{b}^{~d}M_{cd}=M_{ab}.$$ No estoy demasiado sorprendido por este hecho, pero no estoy seguro de cómo justificarlo.

En segundo lugar , también asumí que el término no homogéneo en (3) es antisimétrico en$a$y$b$. Este debe ser el caso, de lo contrario, la conexión de espín no conservaría su antisimetría cuando sufre una transformación. Pero también me gustaría probar que es así, así que probé lo siguiente:

$$\begin{align} \Lambda^{c}_{~~a}\partial'_\mu\Lambda_{bc}&=\partial'_{\mu}\big(\Lambda^{c}_{~~a}\Lambda_{bc}\big)-\Lambda_{bc}\partial'_{\mu}\Lambda^{c}_{~~a}\\ &=\partial'_{\mu}\big(\eta_{ab})-\Lambda_{bc}\partial'_{\mu}\Lambda^{c}_{~~a}\\ &=-\Lambda_{bc}\partial'_{\mu}\Lambda^{c}_{~~a}\\ &=-\Lambda_{b}^{~c}\partial'_{\mu}\Lambda_{ca}. \end{align}$$ Esto es casi todo, pero no del todo, ya que necesito mostrar que $\Lambda^{c}_{~~a}\partial'_\mu\Lambda_{bc}=-\Lambda^{c}_{~~b}\partial'_\mu\Lambda_{ac}$. ¿Cómo puedo proceder?

PD: utilizo la convención mayoritariamente positiva para mi métrica de Minkovski.