Representación de vectores y espinores en la teoría de supercuerdas de Ramond-Neveu-Schwarz

Sí, son representaciones de$SO(8)$, más precisamente$Spin(8)$que es una "mejora" de$SO(8)$que permite representar la rotación de 360 ​​grados mediante una matriz diferente de la matriz unitaria, es decir, menos matriz unitaria.

${\bf 8}_v$se transforma normalmente como

$$v\mapsto M v$$ dónde $MM^T=1$es el $8\times 8$ortogonal real $SO(8)$matriz. Las repeticiones del espinor ${\bf 8}_s\oplus {\bf 8}_c$rotula el espinor zurdo y diestro, respectivamente. La gente suele aprender espinores mucho antes de estudiar la teoría de cuerdas RNS.

La representación del espinor se transforma bajo$SO(8)$de una manera que está completamente codificada por las reglas de transformación bajo infinitesimal$SO(8)$transformaciones,$1+i\omega_{ij} J^{ij}$dónde$\omega$son los parámetros del ángulo y$J$son los generadores.

En la representación del espinor de Dirac,$J_{ij}$se escribe como

$$J_{ij} = \frac{\gamma_i \gamma_j - \gamma_j\gamma_i}{4}$$ dónde $\gamma$son las matrices de Dirac que pueden escribirse como productos tensoriales de las matrices de Pauli y la matriz unitaria y que obedecen $$\gamma_i\gamma_j+\gamma_j\gamma_i = 2\delta_{ij}\cdot {\bf 1}$$ Cada par de dimensiones añadidas duplica el tamaño de las matrices de Dirac, por lo que la dimensión de la representación total de "Dirac" para $SO(2n)$es $2^n$. Para $n=4$obtenemos $2^4=16$.

Esta representación del espinor de 16 dimensiones es real y puede dividirse, de acuerdo con el valor propio de la$\Gamma_9$matriz de quiralidad, a las representaciones de espinores quirales (= Weyl) de 8 dimensiones etiquetadas por los índices s, c.

Para$SO(8)$, hay 3 representaciones irreducibles reales de 8 dimensiones que son "igualmente buenas" y que en realidad pueden permutarse mediante una operación llamada "trialidad". Esta operación puede verse como la$S_3$simetría de permutación de las 3 patas del logotipo de Mercedes-like$SO(8)$Diagrama de Dynkin. Acabo de escribir un texto al respecto anoche:

http://motls.blogspot.cz/2013/04/complex-real-and-pseudoreal.html?m=1

Si realmente necesita explicar qué es una representación de un grupo, debe interrumpir sus estudios de teoría de cuerdas y centrarse en la teoría de grupos: palabras clave Grupos de Lie, álgebras de Lie y teoría de la representación. Sin estos antecedentes, se enfrentaría a una confusión similar con demasiada frecuencia.